Loi Binomiale

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Lycée.

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Loi Binomiale

Messagepar chacha778 » Dimanche 06 Août 2017, 15:14

Bonjour à tous, je viens de finir mon année de première S et vais donc passer en terminale S. Cependant, mon lycée nous a envoyé un devoir maison à faire pendant ces vacances mais je rencontre quelques soucis sur cet exercice.
Dans un gratte ciel, il y a 17 ascenseurs. Chaque ascenseur a une probabilité de tomber en panne de 0.06 chaque jour. On note X le nombre d'ascenseur en panne un jour donné.
1. Quelle est la loi de probabilité de X ? Préciser ses paramètres
2. Quelle est la probabilité qu'aucun ascenseur ne tombe en panne ?
3. Quelle est la probabilité que tous les ascenseurs tombent en panne le même jour ?
4. Quelle est la probabilité qu'au moins 4 ascenseurs tombent en panne le même jour ?
5. Quelle est la probabilité qu'exactement 3 ascenseurs tombent en panne le même jour ?
Voici ce que j'ai fais:
1. X= nombre d'ascenseur en panne en jour donné. Cette expérience est la répétition de 17 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes dont le succès est < l'ascenseur tombe en panne > de probabilité p= 0.06 Les paramètres sont n=17 et p=0.06
2. P(X=0)= 0 parmi 17 *(0.06)^0 *(0.94)^7 = 0.6
3. P(X=17)= 1- P(X=0) = 0.4
je ne suis pas sur de mes résultats par contre. Or c'est pour les questions 4 et 5 que j'ai du mal que je trouve des résultats énormes. Je n'attend pas de réponses, seulement des explications pour me permettre d'y arriver. Merci d'avance de vos réponses.
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Re: Loi Binomiale

Messagepar rebouxo » Dimanche 06 Août 2017, 17:49

Tu as fais quoi ? On ne fera pas l'exo, mais on veut bien corriger tes réponses.

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Re: Loi Binomiale

Messagepar chacha778 » Dimanche 06 Août 2017, 18:05

Bonjour, j'ai marquer plus haut ce que j'ai fais, j'ai fais la 1;2 et 3 sans vraiment être sur de moi, je bloque cependant pour la 4 et 5. Je ne demande pas qu'on face mon exercice à ma place justement, j'ai préciser que je voulais simplement des explications pour mieux le comprendre :wink:
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Re: Loi Binomiale

Messagepar rebouxo » Lundi 07 Août 2017, 07:33

chacha778 a écrit:Bonjour, j'ai marquer plus haut ce que j'ai fais, j'ai fais la 1;2 et 3 sans vraiment être sur de moi, je bloque cependant pour la 4 et 5. Je ne demande pas qu'on face mon exercice à ma place justement, j'ai préciser que je voulais simplement des explications pour mieux le comprendre :wink:


Ben non, tu ne le l'as pas écris, tu as juste dis que tu l'avais fait. Commençons par vérifier que tu es bien dans les clous sur 1, 2 et 3, avant de voir ce que tu as essayé pour 4.

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Re: Loi Binomiale

Messagepar chacha778 » Lundi 07 Août 2017, 10:13

Bonjour, Voici ce que j'ai fais:
1. X= nombre d'ascenseur en panne en jour donné. Cette expérience est la répétition de 17 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes dont le succès est < l'ascenseur tombe en panne > de probabilité p= 0.06 Les paramètres sont n=17 et p=0.06
2. P(X=0)= 0 parmi 17 *(0.06)^0 *(0.94)^7 = 0.6
3. P(X=17)= 1- P(X=0) = 0.4
je ne suis pas sur de mes résultats par contre
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Re: Loi Binomiale

Messagepar rebouxo » Lundi 07 Août 2017, 16:00

chacha778 a écrit:Bonjour, Voici ce que j'ai fais:
1. X= nombre d'ascenseur en panne en jour donné. Cette expérience est la répétition de 17 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes dont le succès est < l'ascenseur tombe en panne > de probabilité p= 0.06 Les paramètres sont n=17 et p=0.06

OK. Mais il manque la conclusion. Là, il faut que je (ou le correcteur) devine quelle lois de proba tu utilises. La loi binomiale n'est pas toute seule :P .
chacha778 a écrit:2. P(X=0)= 0 parmi 17 *(0.06)^0 *(0.94)^7 = 0.6
chacha778 a écrit:La traduction du texte est bonne, il y a un problème.

3. P(X=17)= 1- P(X=0) = 0.4
je ne suis pas sur de mes résultats par contre

La traduction du texte est bonne.
Mais, l'événement contraire de $P(x=0)$ n'est pas $P(X=17)$. Par contre la loi binomiale possède une particularité importante qui permet de trouver $P(X=17)$.

Comment traduis-tu la question 4 ?

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Re: Loi Binomiale

Messagepar chacha778 » Lundi 07 Août 2017, 16:07

Quand tu dis conclusion tu veux dire récapitulé ? Par exemple X suit une loi (17;0.06) ?
Pour P(X=17) sinon j'aurais pas 17 parmi 17 mais cela revient-il au même que ce que j'ai fais ?
Pour la 4 je comprend qu'il faut au moins 4 ascenseurs en panne donc soit 4, 5 ou 6 ?
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Re: Loi Binomiale

Messagepar rebouxo » Lundi 07 Août 2017, 19:18

chacha778 a écrit:Quand tu dis conclusion tu veux dire récapitulé ? Par exemple X suit une loi (17;0.06) ?

Oui, ce genre de question tu ne dois pas laisser place à l'ambiguïté. Et là, il en reste.
Une loi (17 ; 0,06) ne veut rien dire, car il manque le nom de la loi. Il y a plusieurs loi de probabilité (uniforme, Bernouilli, Binomiale, ...).
chacha778 a écrit:Pour P(X=17) sinon j'aurais pas 17 parmi 17 mais cela revient-il au même que ce que j'ai fais ?

Non cela ne reviens pas au même. $1 - P(X = 0)$ c'est l'événement contraire de quoi ?
chacha778 a écrit:Pour la 4 je comprend qu'il faut au moins 4 ascenseurs en panne donc soit 4, 5 ou 6 ?


Pas seulement, 4, 5, 6, mais aussi 7, 8, ..., 17. Comment vas-tu calc
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Re: Loi Binomiale

Messagepar chacha778 » Lundi 07 Août 2017, 20:08

Oui une loi binomiale (17;0.06), j'ai oublié le mot avant
Moi je pensais justement que 1-P(X=0) voulait dire que justement tous les ascenseurs tomberaient en panne
Pour calculer je complais faire 4 parmi 17, 5 parmi 17.. mais je me rend compte que cela sera très long
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Re: Loi Binomiale

Messagepar rebouxo » Lundi 07 Août 2017, 22:56

chacha778 a écrit:Oui une loi binomiale (17;0.06), j'ai oublié le mot avant

OK. Cela j'irais même jusqu'à écrire une loi binomiale de paramètres $n = 17$ et $p = 0,06$
chacha778 a écrit:Moi je pensais justement que 1-P(X=0) voulait dire que justement tous les ascenseurs tomberaient en panne

Tous les ascenseurs qui tombent en panne c'est $(X = 17)$. Toi, tu parles de proba (un nombre) au lieu d'événement (un ensemble, une collection).
Cela dit j'ai fait la même erreur dans mon dernier message. Mes neurones sont en vacances. :mrgreen:
$1-P(X=0)$ : c'est la formule de la proba de l'événement contraire. $P(X=0)$ est la proba de quel événement ? Comment se traduit l'événement contraire ?
Sur la question $P(X =17)$ as-tu corrigé ton erreur, dans le calcul ?
chacha778 a écrit:Pour calculer je complais faire 4 parmi 17, 5 parmi 17.. mais je me rend compte que cela sera très long


Oui même si je n'aime pas trop les dénombrements, mais si ton prof le fait, je vais me forcer. Je ne pense pas que cela soit absolument indispensable pour parler de la loi binomiale (sauf si cela te sers).
Et oui cela va être long, donc il faut essayer d'être plus efficace. Indice : on en parle déjà. :mrgreen:
Bonne nuit
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Re: Loi Binomiale

Messagepar chacha778 » Mardi 08 Août 2017, 11:18

Bonjour, pour P(X=0) c'est la proba qu'auncun ascenseurs ne tombent en panne
L'evenement contraire est ' tous les ascenseurs tombent en panne' non ?
Pour P(X=17) j'ai refais mais je trouve 0.4 je ne sais pas si cela est correct
Serait ce une formule ?
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Re: Loi Binomiale

Messagepar rebouxo » Mardi 08 Août 2017, 14:52

chacha778 a écrit:Bonjour, pour P(X=0) c'est la proba qu'auncun ascenseurs ne tombent en panne
L'evenement contraire est ' tous les ascenseurs tombent en panne' non ?
Pour P(X=17) j'ai refais mais je trouve 0.4 je ne sais pas si cela est correct
Serait ce une formule ?


Je le reformulerais $P(X=0)$ en tous les ascenseurs fonctionnent, dont le contraire *n'est pas* tous les ascenseurs sont en pannent. Je préfère les formulations avec le moins possible de négation (en particulier les doubles négations, beerrk, caca :D ).
Peut-être que cette formulation va te permettre de trouver l'événement contraire.

Ton calcul pour $P(X=0)$ est correct, c'est moi qui est mal lu. $ {17}\choose{0} $ se code {17}\choose{0}, il suffit de mettre un dollar avant et après la formule. Tu remarqueras que le codage de la formule est très proche de ta formulation.

Pour $P(X=17)$, tu peux faire le calcul, avec la formule. En te rappelant que les coefficients binomiaux sont égaux donc que ${17}\choose{0} = {17}\choose{17} = ?$.

En fait, la probabilité que tous les ascenseurs fonctionnent est très nettement supérieure à la probabilité que tous les ascenseurs soient en panne. Pourquoi ?

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Re: Loi Binomiale

Messagepar chacha778 » Mardi 08 Août 2017, 16:00

Donc les ascenseurs ne fonctionnent pas
Oui je ferais attention pour la prochaine fois, merci pour la précision :)
Il me semble que ${17}\choose{17}$ fasse 1, mais je ne suis pas bien sur de moi
C'est supérieure car il y en a 17 fin je ne sais pas trop comment l'expliquer
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Re: Loi Binomiale

Messagepar rebouxo » Mardi 08 Août 2017, 16:19

chacha778 a écrit:Donc les ascenseurs ne fonctionnent pas

Tous ou certains
chacha778 a écrit:Oui je ferais attention pour la prochaine fois, merci pour la précision :)
Il me semble que ${17}\choose{17}$ fasse 1, mais je ne suis pas bien sur de moi

Oui, c'est cela. Au passage à part les valeurs de ${n}\choose{n}$ = ${n}\choose{0}$ $= 1$ et ${n}\choose{1}$ = ${n}\choose{n-1}$ $= n$, les autres valeurs des coefficients binomiaux se calculent avec la calculatrice ou avec le triangle de Pascal, pour les petites valeurs.
chacha778 a écrit:C'est supérieure car il y en a 17 fin je ne sais pas trop comment l'expliquer

Est-ce qu'en relisant ta phrase, tu y comprends quelque chose ? Moi je suis perdu :D :idea: :mrgreen: ?
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Re: Loi Binomiale

Messagepar chacha778 » Mardi 08 Août 2017, 16:20

Je viens d'ailleurs de me rendre compte d'une petite erreur de ma part pour la question 2, j'ai fais (0.94)^7 au lieu de 17, ce qui me fait comme résultat 0.3 au lieu de 0.6, cependant pour P(X=17) je trouve un résultat puissance 21.. est-ce normal ?
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Re: Loi Binomiale

Messagepar rebouxo » Mardi 08 Août 2017, 22:20

Ouuuuuui !
Il est très peu probable d'avoir les 17 ascenseurs en panne en même temps. Heureusement.

Si tu as GeoGebra (tout le monde peut avoir GeoGebra), tu peux faire tracer l'histogramme de ta loi, et l'essentiel des proba est concentré sur les premières valeurs?
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Re: Loi Binomiale

Messagepar chacha778 » Mercredi 09 Août 2017, 14:24

D'accord merci je vais essayer de me servir de Geogebra
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Re: Loi Binomiale

Messagepar chacha778 » Mercredi 09 Août 2017, 18:50

J'ai fais tous mes calculs et je pense avoir trouver
2. P(X=0)=0.349
3.P(X=17)=1.7*10^-21
4.P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=0.984
P(X=4) = 1-P(X=3)
=1-0.984
=0.016
5.P(X=1)+P(X=2)+P(X=3) =0.635
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Re: Loi Binomiale

Messagepar chacha778 » Mercredi 09 Août 2017, 18:54

Petite erreur pour la 5, c'est 0.062 et non 0.635
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Re: Loi Binomiale

Messagepar rebouxo » Jeudi 10 Août 2017, 09:11

chacha778 a écrit:J'ai fais tous mes calculs et je pense avoir trouver
2. P(X=0)=0.349
3.P(X=17)=1.7*10^-21
4.P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=0.984
P(X=4) = 1-P(X=3)
=1-0.984
=0.016
5.P(X=1)+P(X=2)+P(X=3) =0.635


Tu peux éditer tes messages, pour faire des corrections.
2. OK
3. OK
4. P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=0.984 : OK, mais cela s'écrit plus rapidement : $P(X \leq 3)$. Par contre l'égalité suivante est fausse.
5. Oui, avec la correction. Ce que tu as calculé ci dessus, ne correspond pas à l'énoncé.
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