[1ère Es] Les limites

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[1ère Es] Les limites

Messagepar Webby » Dimanche 05 Mars 2006, 10:54

Bonjour à tous !

J'ai deux questions à un Vrai/Faux, où je ne sais pas comment répondre.

1) Si une fonction f est strictement croissante sur R, alors lim (x -> +∞) f(x) = +∞

2) La courbe ci-contre peut représenter une fonction f de la forme :
x |-> 1/ax²+bx+c
http://www.mezimages.com/agrandir_membr ... n_0019.png


Pouvez-vous m'indiquez le chemin à suivre, car je n'ai pas franchement une idée tant qu'à la réponse et à sa justification.

Merci à tous
Dernière édition par Webby le Dimanche 05 Mars 2006, 15:00, édité 1 fois.
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Messagepar guiguiche » Dimanche 05 Mars 2006, 11:09

1. Connais-tu une fonction strictement croissante sur R et qui ne divergerait pas vers $+\infty$ ?
2. Quel est le domaine de définition de la fonction f puis celui de la fonction tracée ?
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Messagepar Webby » Dimanche 05 Mars 2006, 11:26

Pour le 1)

si je prend le cas de x² ou racine de x, est-ce que cela peut marcher ?
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Messagepar guiguiche » Dimanche 05 Mars 2006, 11:36

Il y a peut-être d'autres types de fonctions strictement croissantes, une fonction majorée sur R par exemple. Cherches un exemple.
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Messagepar Webby » Dimanche 05 Mars 2006, 11:45

Que voulez-vous dire par fonction majorée ?
Car a part les fonctions que j'ai cité, je ne vois pas de quoi, il pourrait s'agir.
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Messagepar guiguiche » Dimanche 05 Mars 2006, 11:52

Par exemple, une fonction dont la courbe représentative admet une asymptote horizontale au voisinage de $+\infty$.
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Messagepar Webby » Dimanche 05 Mars 2006, 12:01

Est-ce que si je prend le cas de (x+1) / x², c'st bon, puisque :

lim f(x) = lim x/x² = lim 1/x = 0
x -> +∞
La droite d'équation y=0 est asymptot horizontale à Cf en +∞.
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Messagepar guiguiche » Dimanche 05 Mars 2006, 12:06

Ta fonction n'est malheureusement pas strictement croissante sur son domaine de définition mais c'est ce type de fonction que tu dois préciser pour répondre à la question. Il y en a une très simple parmi les fonctions usuelles (à une association près).
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Messagepar Webby » Dimanche 05 Mars 2006, 12:14

Excusez moi, mais j'ai beau chercher dans mon livre, cours, toutes les fonctions ne sont pas *que* strictement croissante.

Pour le 4, pour claculer l'ensemble de définition, dois-je passer par le clacul de delta, et en conclure. Si oui, comment faire vu que je n'ai aucune donnée *réelle* ?

Merci de votre aide
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Messagepar guiguiche » Dimanche 05 Mars 2006, 13:28

La fonction $x\mapsto-\frac{1}{x}$ me paraît être strictement croissante et majorée par 0 (et même de limite nulle en $+\infty$) donc elle te permet de conclure.

Concernant l'autre fonction $x\mapsto\dfrac{1}{ax^2+bx+c}$ (si j'ai bien compris), elle est définie partout sur R sauf peut-être en un nombre (le(s)quel(s)?) assez limité de valeurs. Compare avec le graphique qui t'est proposé.
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Messagepar Kazik » Dimanche 05 Mars 2006, 14:08

Bonjour,

lorsqu'il s'agit d'un quotient pense aux valeurs interdites : le dénominateur doit être différent de 0.
Donc tu résoud ax²+bx+c=0 (polynôme du second degré en x) et tu en déduis les asymptote verticales.
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Messagepar guiguiche » Dimanche 05 Mars 2006, 14:18

Compte tenu de l'allure de la courbe proposée, il me semble inutile de résoudre l'équation du second degré. Un argument élémentaire est suffisant.
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Messagepar MB » Dimanche 05 Mars 2006, 14:24

@Webby : Voir ici. Il serait bon d'utiliser LaTeX dans tes messages.
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Messagepar nirosis » Dimanche 05 Mars 2006, 14:53

Et quand tu composes un message Webby, il y a sous les smileys une aide pour les formules latex de base ! Par exemples pour écrire des limites etc...
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Messagepar Webby » Dimanche 05 Mars 2006, 14:59

Alors, pour le 1er, si je dis cela :

Prenons l'exemple de x -> - 1/x

Dois-je écricre cela ?
On pose x ≠ 0

$$ \ds\lim_{n \rightarrow +\infty} f(x) = \ds\lim_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{-1}{x} =0 $$



Code: Tout sélectionner
$$ \ds\lim_{n \rightarrow +\infty} f(x) = \ds\lim_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{-1}{x} =0 $$


Une fonction strictement croissante sur $\R$, n'est pas toujours égale à +∞.
Donc, Faux

Est-ce exact ?


Pour le 4, si on peut conclure directement, cela m'arrangerai, vu que je memelle un peu avec le calcul de Delta...

A l'allure de cette courbe, il me semble impossible qu'elle puisse représenter la fonction (je pense à 1/x). Mais, je ne suis pas sur de cet argument.



MB, j'essaye d'utiliser Latex dans mes messages, mais je n'arrive jamais au résultat souhaité :(
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Messagepar MB » Dimanche 05 Mars 2006, 15:10

Webby a écrit:MB, j'essaye d'utiliser Latex dans mes messages, mais je n'arrive jamais au résultat souhaité :(


J'ai édité ton message et donné un exemple pour la limite. C'est plus lisible !
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Messagepar guiguiche » Dimanche 05 Mars 2006, 15:21

Une fonction strictement croissante sur R, n'est pas toujours égale à +∞.


Que veux-tu dire ? Une fonction ne prend jamais la valeur $+\infty$ en la moindre valeur de $x$.

La fonction que je t'ai proposé est strictement croissante sur $]0,+\infty[$ et ne tend pas vers $+\infty$.

La question était de savoir si toutes les fonctions stritement croissantes admettent ou non l'infini pour limite. La réponse est non puisqu'au moins une fonction strictement croissante ne tend pas vers l'infini mais ici vers 0.
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Messagepar nirosis » Dimanche 05 Mars 2006, 15:26

Webby a écrit:Une fonction strictement croissante sur $\R$, n'est pas toujours égale à +∞.
Donc, Faux


remplace n'est pas toujours égale à $+\infty$, par ne tend pas toujours vers $+\infty$
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Messagepar Webby » Dimanche 05 Mars 2006, 15:45

Merci à vous deux pour ces précisions.
Et à MB, pour m'avoir corrigé :)

Pour la 2ème question, elle est notée difficile dans mon livre, quelle méthode vaut-il mieux choisir ?
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Messagepar guiguiche » Dimanche 05 Mars 2006, 19:05

Pour le 2, le dénominateur de la fonction f proposée ne s'annule qu'en 0 ou 1 ou 2 valeurs (cela dépend des valeurs des trois paramètres a, b et c). A toi de conclure.
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