[2nd] Irrationnalite de racine carré de 2

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[2nd] Irrationnalite de racine carré de 2

Messagepar Ajulien » Samedi 23 Septembre 2006, 17:23

je suis en seconde

Irrationnalite de $ \sqrt{2}$

1) demontrer le lemme suivant : soit a $ \in$ $\N $
si a² est paire, alors a est aussi paire


2) Attaquons nous a la preuve du resultat suivant: $ \sqrt{2} $ est irrationnel. on raisonne par l'absurde en supposant que $ \sqrt{2} $ soit rationnel, on l'ecrit alors: $ \sqrt{2} $= $\dfrac{p}{q} $ avec p,q$ \in $ $\N$ et q $\ne$ 0 , cette ecriture etant la forme irreductible de cette fraction, c'est a dire que le p.g.c.d de p et q est 1. nous allons montrer qu'une telle hypothese conduit a une absurdité

a) Verifier que p²=2q²
b) En deduire la parite de p² , puis celle de p.
c) On a donc montre que p etait pair, on l'ecrit p=2k. Montrer que q² = 2k² , en debuire que q ² , puis que q sont pairs
d) En deduire une contradiction avec l'ecriture irréductible $ \dfrac{p}{q}$
e) Conclure


Merci d'avance
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Messagepar Ajulien » Samedi 23 Septembre 2006, 17:27

j'oubliais j'arrive a faire seulement le 2)a)
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Messagepar Jean-charles » Samedi 23 Septembre 2006, 17:30

Pour t'aider un nombre pair peut se mettre sous la forme $2n$ et un nombre impair ?
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Messagepar Ajulien » Samedi 23 Septembre 2006, 19:06

sa m'aide en quoi
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Messagepar MB » Samedi 23 Septembre 2006, 19:16

Voir ici sinon.
MB (Pas d'aide en Message Privé)
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Messagepar Florent » Samedi 23 Septembre 2006, 20:05

Ajulien a écrit:sa m'aide en quoi


Il suffit alors de prouver que $a^2$ peut s'écrire sous la forme $2a'$ en sachant que $a$ est pair
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Messagepar François D. » Lundi 25 Septembre 2006, 18:21

Ou bien, on raisonne dans l'autre sens : un entier $a$ impair s'écrit sous la forme $a=2p+1$ ($p$ entier) ; en élevant un tel $a$ impair au carré, est-il possible d'obtenir un entier pair, c'est-à-dire un entier qui s'écrive sous la forme $2n$ ?

En développant $(2p+1)^2$, on devrait pouvoir répondre à cette question, ce qui revient à démontrer le lemme du 1°.

À la décharge partielle de Ajulien, je veux bien admettre que cette démonstration de l'irrationnalité de $\sqrt{2}$ puisse sembler rude quand on débarque en Seconde, surtout si au Collège on était en compagnie d'élèves moins à l'aise qui ont pu forcer les profs de 4ème et 3ème à se contenter du minimum ...

Cela dit, à toi d'utiliser nos indications :wink: !
François D.
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