[TS] Intégrales : volume d'une sphère évidée par un cylindre

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[TS] Intégrales : volume d'une sphère évidée par un cylindre

Messagepar JB-Belgarion » Samedi 05 Avril 2008, 17:33

Bonjour! J'ai un dm sur des intégrales dont voici le sujet:

On considère un objet de hauteur h constitué d'une demie shpère évidée suivant son axe par un cylindre.
On veut réaliser cette pièce par moulage d'un alliage.
Déterminer le volume de matière nécessaire à sa réalisation en fonction de h uniquement.
Détailler toutes les étapes de raisonnement et de calcul.

Voici les 2 schémas:

J'ai déjà travaillé sur l'exercice. Donc pour trouver le volume de matière il faut faire l'opération Vdemie sphère - Vcylindre. On détermine Vdemie shère = 2/3 \pi h^3 et Vcylindre = \pi r² \sqrt{a} h²- r² avec h le rayon de la sphère, r le rayon du cylindre et h' = \sqrt{a} h²- r² la hauteur du cylindre. Ainsi on soustrait les 2 membres et on obtient 2/3 \pi h^3- \pi r² \sqrt{a} h²- r². Or on souhaite le volume en fonction de h uniquement. Et passer le r² dans le racine le transformerait en r^4, ce qui complexifiera le problème plus qu'il ne l'est déjà.

Ensuite j'ai tenté d'utiliser le schéma de droite. J'ai terminé l'équation du cercle y = \sqrt{a} h²- x². Donc ensuite j'ai tenté de trouver l'aire de la surface hachurée à l'aide d'une intégrale mais là encore quasi impossible à faire. Même en transformant \sqrt{a} h²- x² en (h-x)^1/2 * (h+x)^1/2 et avec une double intégration par parties je me retrouve avec des intégrales plus compliquées que celle de départ. Et même si j'arrivais à trouver le résultat je n'aurais qu'une aire non? J'ai lu qu'intégrer une aire permettait de retomber sur un volume mais je ne suis pas sur que c'est du niveau de terminale même s'il me semble que la prof de physique en a vaguement parler.

Alors je suis perdu, je ne sais pas quoi faire. Si vous pouviez me donner un coup de pouce s'il vous plait... Merci d'avance!
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Re: [TS] Intégrales : volume d'une sphère évidée par un cylindre

Messagepar balf » Samedi 05 Avril 2008, 18:19

Il y a une erreur initiale : le rayon de la sphère n'est pas h ; h n'est que la hauteur de la sphère évidée.

B.A.
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Re: [TS] Intégrales : volume d'une sphère évidée par un cylindre

Messagepar JB-Belgarion » Samedi 05 Avril 2008, 18:21

Le rayon ou la hauteur c'est la même chose puisque tous les points sur la sphère sont à la même distance du centre.
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Re: [TS] Intégrales : volume d'une sphère évidée par un cylindre

Messagepar Framboise » Samedi 05 Avril 2008, 20:27

Bonjour,

Non:
énoncé -> un objet de hauteur h
raisonnement -> avec h le rayon de la sphère

La hauteur de l'objet est inférieure au rayon de la (demi-)sphère si le rayon du cylindre n'est pas nul.
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Re: [TS] Intégrales : volume d'une sphère évidée par un cylindre

Messagepar JB-Belgarion » Samedi 05 Avril 2008, 21:30

Mais alors comment résoudre le problème? Car dans ce cas on a 1 valeur fixe: h la hauteur de la sphère et 3 valeurs inconnues: rayon de la sphère, rayon du cylindre et hauteur du cylindre. Ca complique encore plus les calculs puisqu'on veut le Vsphère - Vcylindre en fonction de h uniquement. Je ne vois pas du tout comment trouver le volume. (et dans ce cas le volume de la sphère même n'est plus en fonction de h?).
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Re: [TS] Intégrales : volume d'une sphère évidée par un cylindre

Messagepar balf » Samedi 05 Avril 2008, 21:51

La hauteur du cylindre est h ! Mais il faut en plus soit le diamètre de l'objet (celui de la sphère, donc), soit celui du cylindre. Vérifiez votre énoncé ; tel quel, il n'y a pas de solution.

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Re: [TS] Intégrales : volume d'une sphère évidée par un cylindre

Messagepar JB-Belgarion » Samedi 05 Avril 2008, 22:09

J'ai recopié l'énoncé tel qu'il est. On n'a aucune valeur numérique et seul la hauteur de l'objet est fixé (=h). Par contre, selon la figure de droite, il me semblait que la hauteur de la sphère et la hauteur du cylindre n'était pas le même. Je me suis peut être trompé... Mais sinon il n'y a rien d'autre dans l'énoncé.
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Re: [TS] Intégrales : volume d'une sphère évidée par un cylindre

Messagepar balf » Samedi 05 Avril 2008, 22:27

Je suppose que vous parlez en fait du rayon de la sphère avant évidement ; je pense que l'arc de cercle au-dessus du cylindre devrait être dessiné en pointillés. Il est bien clair que si on fore la sphère, la hauteur finale dépendra du diamètre du foret, et réciproquement, si la hauteur h est connue, ainsi que le diamètre de la sphère, on peut en déduire le diamètre du foret. Essayez de faire l'exercice en supposant connus la hauteur h et le rayon R de la sphère initiale.

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Re: [TS] Intégrales : volume d'une sphère évidée par un cylindre

Messagepar Framboise » Dimanche 06 Avril 2008, 08:52

De mémoire, dans le cas très voisin de la sphère complète percée, le résultat final est indépendant de R et peut être exprimé en fonction de h seul.
On peut donc poser R arbitrairement dans un tel cas, R qui s'éliminera dans la suite des calculs si ma mémoire est bonne.
Le "trou" est constitué d'un cylindre + une calotte sphérique.
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Re: [TS] Intégrales : volume d'une sphère évidée par un cylindre

Messagepar JB-Belgarion » Dimanche 06 Avril 2008, 10:53

J'ai tenté de faire comme vous me l'aviez conseillé, mais entre les R rayon initial de la sphère et r rayon du cylindre je m'y perds et aucun des r ou R ne s'annulent, au contraire ils sont au cube, au carré... je suis perdu. J'ai aussi tenté de calculer le volume de ce que vous appelez la calotte sphérique mais je ne vois pas comment faire. J'ai essayé d'utiliser le dessin de droite mais pas moyen... Mais merci quand même de vos aides précieuses.
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Re: [TS] Intégrales : volume d'une sphère évidée par un cylindre

Messagepar Framboise » Dimanche 06 Avril 2008, 11:38

J'ai trouvé une info intéressante :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Volume
voir en particulier:
La sphère percée d'un cylindre (rond de serviette)
Il semble bien que la hauteur seule intervienne en final. Il faut encore le démontrer.

J'ai lu qu'intégrer une aire permettait de retomber sur un volume mais je ne suis pas sur que c'est du niveau de terminale même s'il me semble que la prof de physique en a vaguement parler.

Serait-ce sur le même lien : "Le théorème de Guldin (ou règle de Pappus)" ?
Encore que ici le centre de gravité sur la section n'est pas évident du tout.

Il est peut-être judicieux de considérer la sphère au lieu de la demi-sphère et ensuite se ramener à notre problème.

Voir aussi
http://www.ilemaths.net/forum-sujet-205363.html
:mrgreen:
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Re: [TS] Intégrales : volume d'une sphère évidée par un cylindre

Messagepar balf » Dimanche 06 Avril 2008, 12:41

J'avais complètement oublié cet exercice qui est une sorte de paradoxe mathématique.

Pour répondre à JB-Belgarion, il faut d'abord calculer la volume du tronc de sphère (de boule, plutôt) compris entre les cotes z = 0 et z = h ; le principe de Cavalieri dit que c'est l'intégrale $\displaystyle \int_0^h A(z) \mathrm dz$, où A(z) est l'aire du disque, section de la sphère par le plan de cote z. Il ne reste ensuite qu'à exprimer le rayon r du cylindre en fonction de R et de h pour calculer son volume et à soustraire celui-ci du volume du tronc de sphère. Ce n'est pas un très long calcul.

B.A.
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Re: [TS] Intégrales : volume d'une sphère évidée par un cylindre

Messagepar Framboise » Dimanche 06 Avril 2008, 12:43

Pour t'aiguiller un peu: ( je considère une sphère entière percée, appelée aussi anneau sphérique ou anneau de Napkin )
Considère les 3 volumes:
- La sphère
- Le cylindre
- Les 2 calottes

Tu pourras faire le bilan des volumes:
V(anneau)= V(sphere) - V(cylindre) - 2V(calotte).

Tu devrais arriver à la bonne formule pour la sphère percée, et ensuite déduire pour la demi-sphère.
Non, il ne suffit pas de simplement diviser le résultat par 2, c'est un tout petit peu plus compliqué...
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Re: [TS] Intégrales : volume d'une sphère évidée par un cylindre

Messagepar Framboise » Dimanche 06 Avril 2008, 13:00

balf a écrit:J'avais complètement oublié cet exercice qui est une sorte de paradoxe mathématique.


Moi aussi, presque... :?
Cela fait deux voies de démonstrations.
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Re: [TS] Intégrales : volume d'une sphère évidée par un cylindre

Messagepar JB-Belgarion » Dimanche 06 Avril 2008, 13:54

Framboise, j'ai bien compris ce raisonnement, seulement, même en considérant une sphère et non plus une demie sphère, on se retrouve avec des rayons différents pour celui de la sphère et celui du cylindre. Et puis je ne vois toujours pas comment calculer le volume de la calotte.
Par exemple, on considère le cas d'une sphère entière. Vsphère = 4/3 \pi R^3 - \pi r² h - 2Vcalotte. On a toujours R différent de r et ils ne s'annulent pas.

Pour le raisonnement de Balf, on obtient donc Vsphère = \ds\int_{h}^{0} \pi R²dt = \pi R²h. Quant au volume du cylindre on peut le calculer de la même manière de façon à obtenir Vcylindre = \ds\int_{r-h}^{0} \pi r²dt = \pi (r^3- r²h). D'après vous, il faut ensuite exprimer r en fonction de R et h. En utilisant le théorème de Pythagore, on trouve r = \sqrt{a} R²-h². On remplace donc r dans l'expression du volume du cylindre ce qui nous donne Vcylindre = \pi [(R²-h²) \sqrt{a} R²-h² - R²h - h^3.] On soustrait les 2 ce qui nous donne un résultat assez compliqué en fonction de R et de h. Mais ne faut il pas prendre en compte la calotte mentionnée par Framboise? Car la question reste toujours là même: pourquoi les R ne s'annulent pas (déjà c'est une bonne chose je n'ai plus de r merci!!!) et comment déterminer le volume de la (ou les) calottes? (je sais ça fait deux questions^^).
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Re: [TS] Intégrales : volume d'une sphère évidée par un cylindre

Messagepar balf » Dimanche 06 Avril 2008, 14:16

Il y a erreur pour le volume du « tronc de sphère » dans ma façon de procéder : il faut exprimer le rayon r(z) d'une section de la sphère par le plan de cote z : r(z) n'est pas égal à R, sauf pour z = 0, et l'intégrale qu'on calcule est $\displaystyle \int_0^h \pi r(z)^2 \mathrm dz$. Maintenant, r(z) s'obtient exactement de la même façon que vous avez obtenu r(h), le rayon du cylindre (et en plus il n'y a pas de racine carrée à calculer, puisque c'est r(z)² dont on a besoin).

B.A.
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Re: [TS] Intégrales : volume d'une sphère évidée par un cylindre

Messagepar Framboise » Dimanche 06 Avril 2008, 14:22

Je considère une sphère/boule complète.
Le volume du cylindre = $PI * L * r^2$
r = rayon du cylindre
L = hauteur du cylindre

Volume d'une calotte = $PI * h * ( 3 * r^2 + h^2 ) / 6$
h = hauteur de la calotte

Volume de la sphère = ....

$ r^2 = R^2 - L^2/4 $
$ h = R - L/2 $

un peu de manipulation de formules...

On aboutit à $ PI * L^3 / 6 $
=> pour la demi-sphere percée V = ....

Ma méthode a un gros défaut : pour un devoir sur les intégrales... il n y a pas d'intégrale ! :cry:
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Re: [TS] Intégrales : volume d'une sphère évidée par un cylindre

Messagepar Tex Murphy » Mercredi 13 Mai 2009, 13:46

Ah, j'arrive juste un an trop tard :)
On peut effectivement calculer le volume avec V(sphere)/2 - V(cylindre)/2 - V(calotte)
C'est du niveau 3ème avec les formules.

Mais pas besoin de tout ça;
Si on analyse bien l'énoncé, on en déduit que le volume est déterminé uniquement par la hauteur du trou
et qu'il est donc indépendant du diamètre du trou.
Donc égal au volume d'une demi-sphère sans trou de rayon h
Donc égal à 2/3 pi h^3 (CQFD)

Ceci peut être confirmé par le calcul littéral de l'expression au-dessus.
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