Géométrie et fonction logarithme népérien

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Géométrie et fonction logarithme népérien

Messagepar yassuhiro » Lundi 05 Janvier 2009, 14:56

Bonjour,
J'ai un exercice à finir pour la rentrée et j'ai un peu de mal à prouver certaines choses.

Voilà l'énoncé:

A) Déterminer à 10-4 près l'abscisse du point de la courbe représentative de la fonction logarithme népérien qui est le plus près de l'origine, en repère orthonormal.

B) Soit les deux fonctions f et g définies par f(x) = ex et g(x)=ln x et C et C' leurs représentation graphiques respectives dans un repère orthonormal du plan.
Soit a un réel strictement positif.
La droite d'équation x=a, coupe C en M et C' en N ?.
Construire géométriquement le point N pour que la distance MN soit minimal.

C) n étant un naturel, qui est le plus grand: n^n+1 ou (n+1)^n?


Alors pour le A) je pense quil faut arriver a trouver le minorant de la fonction ln x² + x² (jutilise le theoreme de pythagore)et pour le C) n^(n+1) est superieur a (n+1)^n pour n inferieur ou egal a deux. C'est l'inverse pour n superieur ou egale a 3.
Mais je n'arrive pas à le prouver, donc pouvez-vous m'indiquer une piste à suivre? Merci d'avance.
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Re: Géométrie et fonction logarithme népérien

Messagepar rebouxo » Lundi 05 Janvier 2009, 16:58

Pour le A, l'idée est bien de trouver le minorant de $\ln^2(x) + x^2$ (attention à la notation ln x ² est très ambigüe, c'est le $x$ ou le $\ln(x)$ qui est au carré).

Par contre la stratégie à adopter après est assez floue. Si la question est posée comme cela, moi je ferais une recherche par balayage avec la calculatrice ou un tableur. Sinon, on peut étudier la fonction $f(x) = \ln^2(x)+x^2$. On dérive, on étudie le signe de la dérivée, il faut faire intervenir une fonction auxiliaire, mais cela semble un peu hard, je trouve, d'autant plus que l'on ne fera pas mieux, au niveau de la résolution, car on tombe sur une équation que l'on ne sait pas résoudre...

Pour le B, j'ai bien une construction, mais je ne sais comment la justifier :D Sérieusement, il faut utiliser les symétriques par rapport à la première bissectrice des points $M$ et $N$. Si tu as GeoGebra chez toi, fais la figure et fait bouger les points... Cela dit, je ne vois pas comment placer $N$ sans placer $M$... Là encore, épreuve pratique ?

Pour le C, passe aux log, puis étudie la différence, et utilise un tableur, c'est quand même plus sympa.
J'ai comme l'impression que cela ressemble beaucoup à des exercices d'épreuves pratiques, non ?

Olivier
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Re: Géométrie et fonction logarithme népérien

Messagepar yassuhiro » Lundi 05 Janvier 2009, 17:22

merci, jai trouvé pour le A et le B.
reste plus que le C, effectivement j'ai géogebra et j'ai essayé de voir ce que ça donnait en vain.
nan ce n'est pas spécialement un exercice d'épreuve expérimentale, disons que c'est un plus difficile que la moyenne. :D
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Re: Géométrie et fonction logarithme népérien

Messagepar rebouxo » Lundi 05 Janvier 2009, 18:38

yassuhiro a écrit:merci, jai trouvé pour le A et le B.
reste plus que le C, effectivement j'ai géogebra et j'ai essayé de voir ce que ça donnait en vain.
nan ce n'est pas spécialement un exercice d'épreuve expérimentale, disons que c'est un plus difficile que la moyenne. :D


C'est franchement plus difficile. Et si l'exo est libellé tel quel, le B me semble infaisable..., Parce que le point n'est pas fixe.

Pour le C, avec un tableur cela fonctionne.

$f(x) = (x+1)\ln(x) - x \ln(x+1)$, avec $x >0$.
Tu calcules $f'(x)$, puis $f''(x)$. Tu étudies $f''(x)$ (calcules qui se simplifie plutôt bien) tu en déduis le signe de $f''(x)$, tu en déduis que les variations de $f'(x)$, puis son signe (positif, ouf), donc $f$ est croissante. Elle change de signe donc, $f'(x)$ s'annule une fois. Avant cette valeur (qui a lieu entre $2$ et $3$ et ben $f(x) <0$ et donc ...

Voilà, sans aucune indication, c'est un exercice de très, très bon niveau !

Olivier
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Re: Géométrie et fonction logarithme népérien

Messagepar yassuhiro » Lundi 05 Janvier 2009, 18:53

ok j'ai également trouvé cela pour le C
Soit f définie sur ]0;+inf[ par f(x) = ln(x)/x
f'(x) = [1-ln(x)]/x² est du signe de 1-ln(x) sur ]0;+inf[
Donc f est strictement croissante sur ]0;e] et strictement décroissante sur [e;+inf[

Donc f est strictement décroissante sur [3;+[
Donc f(n+1) < f(n) pour tout n 3
Donc ln(n+1)/(n+1) < ln(n)/n pour tout n>= 3
Donc n.ln(n+1) < (n+1).ln(n) pour tout n >= 3
Donc ln((n+1)^n) < ln(n^n+1) pour tout n >=3
Donc (n+1)^n < n^n+1 pour tout n >= 3
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Re: Géométrie et fonction logarithme népérien

Messagepar yassuhiro » Lundi 05 Janvier 2009, 18:54

est ce correct ?

autre question, comment avez vous fait pour savoir quelle fonction posée ?
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Re: Géométrie et fonction logarithme népérien

Messagepar rebouxo » Lundi 05 Janvier 2009, 23:45

yassuhiro a écrit:est ce correct ?

autre question, comment avez vous fait pour savoir quelle fonction posée ?

Ben t'es vachement malin. Je n'aurais pas pensé a cette fonction. Le raisonnement me semble bon.

Et c'est à mon tour de demander comment tu as pensé à cette idée ?

Mon idée est assez générale, quand tu veux démontrer que A est plus grand que B, ben étudier le signe de la différence. À partir de là, comme j'aime bien les calculs bourrins, ben j'y suis allé. Ta preuve est beaucoup plus élégante que la mienne.

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Re: Géométrie et fonction logarithme népérien

Messagepar yassuhiro » Mardi 06 Janvier 2009, 07:30

sauf que je dois avouer qu'elle n'est pas de moi, je l'ai trouvé sur un autre forum :lol:
Mais pour me justifier je ne savais pas ou du moins j'ai pas pensé à étudier les suites en passant par ln, je saurai pour la prochaine fois.
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Re: Géométrie et fonction logarithme népérien

Messagepar rebouxo » Mardi 06 Janvier 2009, 10:02

yassuhiro a écrit:sauf que je dois avouer qu'elle n'est pas de moi, je l'ai trouvé sur un autre forum :lol:
Mais pour me justifier je ne savais pas ou du moins j'ai pas pensé à étudier les suites en passant par ln, je saurai pour la prochaine fois.



C'est un grand classique des suites qui s'expriment par une puissance : on passe au log.
C'est l'expérience.

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Re: Géométrie et fonction logarithme népérien

Messagepar fredom » Mercredi 20 Octobre 2010, 16:23

Comment as-tu fais le A) stp je suis bloqué sur le même exercice
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