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[Terminale] Fonctions

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[Terminale] Fonctions

Messagepar Yue30 » Jeudi 13 Décembre 2007, 22:27

Bonjour, j'ai un problème de maths sur les fonctions, mais je bloque à plusieurs endroits.

Soit f définie sur $]\pi;\pi[$ par $f(x)=\frac{2sinx}{1+cosx}$

1) a) Etudier la parité de f:


J'ai trouvé que la fonction est impaire et comme la fonction est impaire, on peut donc l'étudier sur $]0;\pi[$.

b) Montrer que $\forall x \in ]0;\pi[ $: $f(x) = \frac{4}{f(\pi-x)}$ :

Par contre la je bloque, je ne sais pas par ou me lancer.

[b]c) En déduire la limite $\ds\lim_{x \rightarrow +\pi^{-}}f(x)$


Je ne l'ai pas faites, supposant qu'il faille la déduire de la question deux. (C'est surement le cas, non?)

2) Calculer f'(x) et faire le tableau de variation de f:

J'ai trouvé : $f'(x)=\frac{2}{cosx+1}$

$\forall x \in ]0;\pi[$, $\frac{2}{cosx+1}>0$

d'où la fonction f est strictement croissante sur $]0;\pi[$.

Par contre je n'ai pas pu faire le tableau de variation.

3) Montrer que $\forall x \in ]0;\pi[ $: $f(x) = 2tan\frac{x}{2}$ :

La encore, je ne vois pas comment démarrer.

Merci d'avance de votre aide...
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Re: [Terminale] Fonctions

Messagepar Jean-charles » Vendredi 14 Décembre 2007, 09:14

Bonjour,

Yue30 a écrit:1) a) Etudier la parité de f:


J'ai trouvé que la fonction est impaire et comme la fonction est impaire, on peut donc l'étudier sur $]0;\pi[$.


Oui sauf qu'il n'y a pas de raison d'exclure 0...

Yue30 a écrit:b) Montrer que $\forall x \in ]0;\pi[ $: $f(x) = \frac{4}{f(\pi-x)}$ :

Par contre la je bloque, je ne sais pas par ou me lancer.



Commence par calculer $f(\pi-x)=\dfrac{2\sin(\pi-x)}{1+\cos(\pi-x)}$...


Yue30 a écrit:[b]c) En déduire la limite $\ds\lim_{x \rightarrow +\pi^{-}}f(x)$

Je ne l'ai pas faites, supposant qu'il faille la déduire de la question deux. (C'est surement le cas, non?)



En effet, à partir du moment où il y a en déduire...
Par contre quand on te donne un résultat, tu as le droit de l'admettre et de t'en servir pour la suite même si tu ne l'as pas prouvé...

Yue30 a écrit:
2) Calculer f'(x) et faire le tableau de variation de f:

J'ai trouvé : $f'(x)=\frac{2}{cosx+1}$

$\forall x \in ]0;\pi[$, $\frac{2}{cosx+1}>0$

d'où la fonction f est strictement croissante sur $]0;\pi[$.

Par contre je n'ai pas pu faire le tableau de variation.



Il faudra utiliser la limite en $\pi$ et la parité...

Yue30 a écrit:
3) Montrer que $\forall x \in ]0;\pi[ $: $f(x) = 2tan\frac{x}{2}$ :

La encore, je ne vois pas comment démarrer.

Merci d'avance de votre aide...


Tu peux utiliser $\sin (2X)=2\sin(X)\cos(X)$ et $1+\cos(2X)=2\cos^2(X)$ avec $X=\dfrac{x}{2}$...
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Re: [Terminale] Fonctions

Messagepar vaccin » Vendredi 14 Décembre 2007, 09:17

salut
pour le 2 :
tu remplaces x par $pi-x$
$\sin(\pi-x)=\sin x$
$\cos(pi -x)=-\cosx$
donc $4/f(pi-x)=...=4*(1-\cos x)/2\sin x$
on multiplie en haut et en bas par$( 1 +\cos x)$

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Re: [Terminale] Fonctions

Messagepar Yue30 » Vendredi 14 Décembre 2007, 10:51


Commence par calculer $f(\pi-x)=\dfrac{2\sin(\pi-x)}{1+\cos(\pi-x)}$...



Pour le b) j'ai fais le calcul je trouve:

$f(\pi-x)=\dfrac{2sinx}{1-cosx} = \dfrac{2}{tan\dfrac{x}{2}}$

C'est aussi vrai que je n'ai pas pensé à reprendre le résultat... Une mauvaise manie de ma part. :(
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Re: [Terminale] Fonctions

Messagepar Jean-charles » Vendredi 14 Décembre 2007, 11:17

Comme ça en plus tu pourras t'en servir pour la dernière question puisque tu as fait apparaitre $\tan(\dfrac{x}{2})$
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Re: [Terminale] Fonctions

Messagepar Yue30 » Vendredi 14 Décembre 2007, 11:32

Est ce que pour calculer la limite de f(x), il faut remplacer $f(\pi-x)$ par le résultat trouvé au b) donc par $f(\pi-x)=\dfrac{2sinx}{1-cosx}$ ? :down:

A ce moment là, ça me donne: $f(\pi-x)= \dfrac{4}{\dfrac{2sinx}{1-cos x}}= \dfrac{2-2cosx}{sinx}$
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Re: [Terminale] Fonctions

Messagepar Jean-charles » Vendredi 14 Décembre 2007, 11:53

Tu as $f(x)=\dfrac{4}{f(\pi-x)}$, ensuite tu cherches $\ds\lim_{x\rightarrow \pi^{-}} f(\pi-x)$...
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Re: [Terminale] Fonctions

Messagepar Yue30 » Vendredi 14 Décembre 2007, 12:07

Jean-charles a écrit:Tu as $f(x)=\dfrac{4}{f(\pi-x)}$, ensuite tu cherches $\ds\lim_{x\rightarrow \pi^{-}} f(\pi-x)$...


Oui mais en fait le $f(\pi-x)}$ me gène dans ma recherche de limite...

Et en plus dans ma question b je ne suis pas arrivé à cette fraction: $f(x)=\dfrac{4}{f(\pi-x)}$
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Re: [Terminale] Fonctions

Messagepar Jean-charles » Vendredi 14 Décembre 2007, 12:50

Prouver $f(x)=\dfrac{4}{f(\pi-x)}$ cela revient à prouver que$f(x)f( \pi-x)$ est égal à quoi ?
Par conséquent tu peux calculer $f(x)f( \pi-x)$ en remplaçant $f(x)$ par son expression et $f(\pi-x)$ par le $\dfrac{2\sin x}{1-\cos x }$ que tu as trouvé...

Pour la limite en $\pi^{-}$:
Que vaut $\ds\lim_{x\rightarrow \pi^{-}} \pi-x$ ? $\ds\lim_{x\rightarrow \pi^{-}} f(\pi-x))$ ? et donc $\ds\lim_{x\rightarrow \pi^{-}}  f(x)$ ?
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Re: [Terminale] Fonctions

Messagepar Yue30 » Vendredi 14 Décembre 2007, 13:05

Cela revient à prouver que $f(x)f(\pi-x) = 4$

Donc si je comprends bien il faut juste que je fasse l'opération $f(x)f(\pi-x)$ et que je trouve que ce soit égale à 4?
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Re: [Terminale] Fonctions

Messagepar dark_forest » Vendredi 14 Décembre 2007, 13:09

Oui, compte tenu du fait que $\sin(\pi-x)=\sin(x)$ et $\cos(\pi-x)=- \cos(x)$ ce ne doit pas etre tres difficile.
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Re: [Terminale] Fonctions

Messagepar Yue30 » Vendredi 14 Décembre 2007, 13:12

dark_forest a écrit:Oui, compte tenu du fait que $\sin(\pi-x)=\sin(x)$ et $\cos(\pi-x)=- \cos(x)$ ce ne doit pas etre tres difficile.


Oui bon ça je le sais, j'ai fais le calcul de $f(\pi - x)$ deja :/
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Re: [Terminale] Fonctions

Messagepar dark_forest » Vendredi 14 Décembre 2007, 13:21

lol désolé, bon le reste est assez élémentaire : $f(x)f(\pi-x)=\frac{2 \sin(x)}{1+cos(x)} \times \frac{2 \sin(x)}{1 - \cos(x)}=...$
Dernière édition par dark_forest le Vendredi 14 Décembre 2007, 13:22, édité 1 fois.
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Re: [Terminale] Fonctions

Messagepar Yue30 » Vendredi 14 Décembre 2007, 13:22

Donc je vais tenter de faire le calcul, parce que je tourne en rond depuis une heure ou deux.

$f(x)=\dfrac{4}{f(\pi - x}$

$<=> f(x)\timesf(\pi-x) = \dfrac{2sin x}{1+cos x} \times \dfrac{2sin x}{1-cos x}$

$= \dfrac{(2sinx)\times(2sinx)}{(1+cosx)\times(1-cos x)}$

$= \dfrac{4 sin^{2}x}{1^{2}-cos^{2}x}$

Sur ma calculette, je trouve que le résultat est égal à 4. Mais bon j'ai un peu de mal à voir comment on arrive à 4...
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Re: [Terminale] Fonctions

Messagepar dark_forest » Vendredi 14 Décembre 2007, 13:23

$cos^2x+ \sin^2x=1$ d'où $1- \cos^2x=...$
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Re: [Terminale] Fonctions

Messagepar Yue30 » Vendredi 14 Décembre 2007, 13:23

dark_forest a écrit:lol désolé, bon le reste est assez élémentaire : $f(x)f(\pi-x)=\frac{2 \sin(x)}{1+cos(x)} \times \frac{2 \sin(x)}{1 - \cos(x)}=...$


A ben j'avais pas vu ton post ;) J'ai fais le calcul.
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Re: [Terminale] Fonctions

Messagepar Yue30 » Vendredi 14 Décembre 2007, 13:25

dark_forest a écrit:$cos^2x+ \sin^2x=1$ d'où $1- \cos^2x=...$


D'où $1- \cos^2x=sin^{2}x$

On peut donc réduire la fraction. Et donc on tombe sur 4 :D
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Re: [Terminale] Fonctions

Messagepar dark_forest » Vendredi 14 Décembre 2007, 13:26

oui c'est ca, parfait :)
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Re: [Terminale] Fonctions

Messagepar Yue30 » Vendredi 14 Décembre 2007, 13:30

Bon je vais tenter de faire le calcul de ma limite maintenant.
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Re: [Terminale] Fonctions

Messagepar Yue30 » Vendredi 14 Décembre 2007, 13:39

Alors :

$\ds\lim_{x\rightarrow \pi^{-}} \pi-x = 0 ?$

D'où:

$\ds\lim_{x\rightarrow \pi^{-}} f(\pi-x)= \ds\lim_{x\rightarrow \pi^{-}} \dfrac{2sin (\pi - x)}{cos (\pi - x)} = 0$

$\ds\lim_{x\rightarrow \pi^{-}} f(x) = ds\lim_{x\rightarrow \pi^{-}}\dfrac{4}{f(\pi- x)}$= indéfini :s

... ?
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