[1èreS] Fonction polynôme

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[1èreS] Fonction polynôme

Messagepar spxx » Mardi 25 Mars 2008, 15:41

Bonjour tout le monde, j'ai un exercice que je ne comprend pas à faire, pourriez-vous m'aidez merci =))
Voila l'énoncé: $f$ est la fonction polynôme définie par : $f(x)=(x+1)^3-x^3$
-On note $S=1+2+3+...+n$
et $P=1^2^+2^2+3^2+...+N^2$
a) Démontrez que : $f(1)+f(2)+...+f(n)=3P+3S+n$
b) Calculez S et P en fonction de $n$
je ne comprend pas le lien avec P et S et surtout comment j'arriverais à trouvez l'égalité =S
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Re: [1èreS] Fonction polynôme

Messagepar kojak » Mardi 25 Mars 2008, 15:49

Bonjour,

tu peux exprimer facilement $f(1)+f(2)+\ldots+f(N)$ : ça se simplifie très bien.

ensuite connais tu la formule de $1+2+3+\ldots+N=\ldots$ :?: idem pour la somme des carrés des premiers entiers :?:

Et tu es dans quel chapitre :?:
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Re: [1èreS] Fonction polynôme

Messagepar spxx » Mardi 25 Mars 2008, 16:04

je suis dans le chapitre des suites =)) et pour la simplification je planche là
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Re: [1èreS] Fonction polynôme

Messagepar balf » Mardi 25 Mars 2008, 16:09

Je pense que le but de l'exercice est de démontrer la formule pour $P$, la formule pour $S$ faisant partie du cours.
Kojak : ta première indication sert à finir l'exercice.
Pour a), il faut développer $f(x)$ à l'aide d'une identité remarquable (je crois qu'en 1ère, je n'ai pas le droit de parler de formule du binôme), puis écrire ce qu'on obtient successivement pour $x=n$, $x=n-1$, ..., $x=0$, brut de décoffrage, et comparer au second membre de a).

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Re: [1èreS] Fonction polynôme

Messagepar kojak » Mardi 25 Mars 2008, 16:11

bon OK...

Il y a beaucoup plus simple : développe et réduis $f(x)$ et ensuite tu exprimes $f(1),f(2),\ldots f(N)$ et tu ajoutes et c'est fini :wink:

[Edit : grillé par balf :mrgreen: ]
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Re: [1èreS] Fonction polynôme

Messagepar spxx » Mardi 25 Mars 2008, 16:23

En développant $f(n)$ et en simplifiant j'ai trouvé, $f(n)=3n^2+3n+1$
Je crois comprendre comment il faut faire mais je ne sais pas comment l'exprimer littéralement =S
Il faut que je dise que $S$ est la somme des $n$ premiers entiers naturel et $P$ la somme des $n$ premiers carrées entiers?
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Re: [1èreS] Fonction polynôme

Messagepar balf » Mardi 25 Mars 2008, 16:40

Calculez $f(k)$ et faites la somme pour $k$ allant de ... à ... Pour $S$, si la question (pas très claire) est : c'est quoi la formule ?, la réponse est : c'est une formule du cours.

B.A.
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Re: [1èreS] Fonction polynôme

Messagepar spxx » Mardi 25 Mars 2008, 16:45

Non mais il n'y a pas besoin de formules dans tout ça je veux savoir si $S$ c'est la somme des premiers entiers naturel? s'il vous plaît =)
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Re: [1èreS] Fonction polynôme

Messagepar balf » Mardi 25 Mars 2008, 17:23

Oui : ça figure même en clair dans votre premier courrier.

B.A.
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Re: [1èreS] Fonction polynôme

Messagepar spxx » Mardi 25 Mars 2008, 18:37

j'ai trouvé pour le a) mais pour le b) je ne vois pas comment faire s'il vous plaît merci, j'ai essayé de passé $S$ dans le premier membre mais ce que j' obtient me semble étrange
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Re: [1èreS] Fonction polynôme

Messagepar kojak » Mardi 25 Mars 2008, 19:53

Indication : pour calculer $S=1+2+\ldots+n$ il suffit d'écrire juste en dessous $S$ mais dans l'autre sens $S=n+(n-1)+\ldots+2+1$ et de faire la somme, donc tu as $2S=\ldots$ : ça s'arrange très bien :wink:

Pour info, notre cher ami Gauss a fait ça tout seul quand il était tout petit :roll:
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Re: [1èreS] Fonction polynôme

Messagepar spxx » Mardi 25 Mars 2008, 19:58

j'ai $2S=2n+2N+2+...+4+2$ et après ? ^^ car même si je soustrais sa va pas marcher =S
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Re: [1èreS] Fonction polynôme

Messagepar kojak » Mardi 25 Mars 2008, 20:33

Je ne vois pas comment tu peux obtenir ceci avec mes indications :roll:
Je t'ai dit d'écrire $S$ dans les 2 sens, et d'ajouter membre à membre : si tu préfères poses l'addition correctement

$$\begin{cases} S&=1+2+\ldots+(n-1)+n\\ S&n+(n-1)+\ldots+2+1 \end{cases}$$

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Re: [1èreS] Fonction polynôme

Messagepar spxx » Mardi 25 Mars 2008, 20:46

Pour $S$ j'ai trouver $S=n(n+1)/2$ c'est bon =) mais après pour $P$ j'ai essayé de faire pareil mais ça marche pas.
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Re: [1èreS] Fonction polynôme

Messagepar balf » Mardi 25 Mars 2008, 20:58

Bien sûr que non, ça ne marche pas ; sinon on ne vous ferait pas faire toute cette démarche dans l'exercice. Avez-vous calculé la somme de tous les $f(k)$ comme indiqué précédemment ? À droite, on doit obtenir le membre de droite de l'énoncé, et à gauche, comme indiqué par notre ami kojak, ça se simplifie considérablement. On obtient donc une relation entre $S$ et $P$, et comme on connaît $S$, on peut en déduire $P$.

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Re: [1èreS] Fonction polynôme

Messagepar spxx » Mardi 25 Mars 2008, 21:09

J'ai tout trouvé et je vous en remercie =))
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