Fonction logarithme népérien

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Fonction logarithme népérien

Messagepar Kikou76 » Mardi 25 Janvier 2011, 00:23

Bonjour à tous, j'ai un exercice de math qui me pose vraiment problème, j'aurais besoin de votre aide!
Voici l'énoncé:

Soit f la fonction définie sur l'intervalle ]1;+infi[ par f(x) = lnx - 1/lnx.
On nomme (C) la courbe représentative de f et T la courbe d'équation y = lnx dans un repère orthogonal (O;i;j).
1) Etudier les variations de la fonction f et préciser les limites en 1 et en +infi.
2)a) Déterminer la limite de [f(x) - lnx] en +infi. Interpréter graphiquement cette limite.
b) Préciser les positions relatives de (C) et de T.
3) On se propose de chercher les tangentes à la courbe (C) passant par le point O.
a) Soit a un réel appartenant à l'intervalle ]1;+infi[.
Démontrer que la tangente Ta ) (C) au point d'abscisse a passe par l'origine du repère si et seulement si f(a) - af'(a) = 0.
Soit g la fonction définie sur l'intervalle ]1;+infi[ par g(x) = f(x) - xf'(x).
b) Montrer que sur ]1;+infi[, les équations g(x) = 0 et (lnx)^3 - (lnx)² - lnx - 1 = 0 ont les mêmes solutions.
c) Après avoir étudié les variations de la fonction u définie par R par u(t) = t^3 - t² - t - 1, montrer que la fonction u s'annule une fois et une seule sur R.
d) En déduire l'existence d'une tangente unique à la courbe (C) passant par le point O.
La courbe (C) et la courbe T sont donnnées grace à la calculatrice.
Tracer cette tangente le plus précisément possible.
4) On considère une réel m et l'équation f(x)=mx d'inconnue x.
Par lecture grahique et sans justification, donner, suivant les valeurs du réel m, le nombre de solutions de cette équation appartenant à l'intervalle ]1;10].


Alors, pour ce qui est de mon travail :
1) On calcul la dérivé de f(x). Soit f'(x) = 1/x - 1/(1/X) = 1/x - x/1 = -x²/x = -x.
x étant négatif, on sait que la fonction est négative à l'extérieur des racines et positive à l'intérieur des racines.
Pour les limites: en 1 = -1 et en +infi = -infi.
2)a)lim de [f(x) - lnx] en +infi donne : lnx - 1/lnx - lnx = 1/lnx = 1/+infi = 0. C'est une asymptote horizontale.
Et puis à partir de là, je bloque complètement. Je comprend les questions, mais le problème est la résolution et surtout la méthode.

J'espère que vous pourrez m'aider.
A bientot, et merci d'avance. Kikou!
Kikou76
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Re: Fonction Logarithme népérien.

Messagepar kojak » Mardi 25 Janvier 2011, 13:52

bonjour,

Je crois que ça commence très mal quand tu écris que la dérivée de $\dfrac{1}{\ln x}$ est $\dfrac{1}{\frac1x}$ : ça m'étonnerait que ton prof de maths t'aie appris à dériver ce genre de chose en première :wink:

donc question naïve : tu dérives comment ce genre de fonction :?:
pas d'aide par MP
kojak
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Re: Fonction logarithme népérien

Messagepar Kikou76 » Mercredi 26 Janvier 2011, 02:45

Bonjour, et excusez-moi pour les erreurs de départ. Je reprend :

1) f'(x) = 1/x - [(-1/x) / (lnx)²] = 1/x + 1/x(lnx)² = [(lnx)²+1] / x(lnx)².
Comme le déno x est positif, alors f ' est du signe de (lnx)² +1 qui est positif entre les racines car (lnx)² est > 0.
Donc f ' > 0 pour x ]1;+infi[
et f est croissant sur cet intervalle.
lim f(x)= 0 - (+infi) = -infi.
x--> 1

Et lim f(x)= +infi - 0 = +infi.
x-->+infi

2)a) f(x)-lnx = lnx - 1/lnx - lnx = -1/lnx
lim [f(x)-lnx]=lim (-1/lnx) = 0
x-->+infi

Donc T d'équation y=lnx est asymptote à C.

b) On a vu que f(x)-lnx=-1/lnx
Or -1/lnx est tjrs < 0 sur ]1;+infi[
d'où f(x)-lnx < 0
donc f(x) < lnx. Et ainsi, C est en dessous T.

3)a) L'équa d'une tgte est y=f '(a)(x-a)+f(a)
ce qui donne y=f '(a)x -a*f '(a)+f(a)
L'ordonnée à l'origine de la tgte est donc -a*f '(a)+f(a)
Et cette tangente passe par O si l'ordonnée à l'origine vaut zéro donc si : -a*f '(a)+f(a)=0 soit f(a)-a*f '(a)=0

b) g(x)=f(x)-x*f '(x) = lnx -1/lnx -x*[(lnx)²+1]/x(lnx)² = lnx - 1/lnx - [(lnx)²+1]/x(lnx)²
mais je n'arrive pas à simplifier mon calcul afin de retrouver g(x)=[(lnx^3)-(lnx)2-lnx-1]/(lnx)2
Donc g(x) = 0 équivaut à (lnx)^3- (lnx)2 - lnx - 1 = 0

c) u'(t) = 3t² - 2t - 1
t² étant toujours positif, il suffit d'étudier la fonction polynome (3t²-4t-1)
Avec delta = 16 et Racine de delta = 4.
On trouve t1 = 1 et t2 = -1/3.
D'où u'(t) < 0 pour -1/3 < x < 1.
On vois grâce au tableau de variation que u(t) est décroissante sur [-1/3;1] et croissante pour le reste.
On a donc lim de u(t) en -infi = -infi.
lim de u(t) en +infi = +infi.
u(-1/3) = -3/10
u(1) = -2
Mais comment montrer que u(t) s'annule une seule fois sur ]1;+infi[ ?

d) On a (lnx)3- (lnx)2 - lnx - 1 = 0 pour une seule valeur de x ]1;+infi[.
Et f(a)-a*f '(a)=0 pour une seule valeur x=a avec a ]1;+infi[
Donc il existe une tangente unique à la courbe (C) passant par le point O.

4) f(x)=mx a pour solution l'abscisse des points d'intersection de la droite y=mx et de C.
Mais je reste bloquée là...


Merci pour votre aide, à bientot.
Kikou76
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