Fonction homographique

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Fonction homographique

Messagepar Senior » Mardi 23 Novembre 2010, 03:28

Bonjour/soir à tous,

Un exercice sur la fonction homographique, merci de vérifier et d'éclairer le "côté obscur" du pb :)

- Enoncé :
On considère la fonction homographique:
$f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}$
où x est la variable, et la courbe C représentative des variations de cette fonction. Soit m un nombre relatif donné.
1°) Quelle relation E doit il exister entre m et les coefficients a, b, c, d pour qu'il soit possible de déterminer sur C
des points où la tangente à cette courbe ait pour coefficient directeur m ?
2°) Montrer que si cette relation E est vérifiée, il existe 2 points associés à chaque valeur de m.

- Solution :
La fonction est définie sur $R-\{-d/c\}$ et $c\ne0$
Le coefficient directeur (CD) de la tg en un point de C est la valeur du nb dérivée en ce point.
La fonction dérivée de $f(x)$:
$f'(x)=\dfrac{ad-bc}{(cx+d)^2}$
C'est maintenant que je ne suis pas sûr :(
Soit m la valeur du CD associé à un point de C, on a :
$m=\dfrac{ad-bc}{(cx+d)^2}$ ou bien
$m(cx+d)^2-ad+bc=0$ (1)
Je pense que la résolution de cette équation en x permet d'établir d'abord la relation E entre m et a, b, c, d.
en développant (1) j'ai :
$mc^2x^2+2mcdx+md^2-ad+bc=0$
Le discriminant est :
$\Delta=4m^2c^2d^2-4mc^2(md^2-ad+bc)$
en développant et en simplifiant j'obtiens ce je crois être la relation E ?
$\Delta=4mc^2(ad-bc)$
Les solutions lorsque le discriminant est positif sont les abcisses des 2 points associés à chaque valeur de m :
La première racine $x'$ est :
$x'= \dfrac{-2mcd+\sqrt{4mc^2(ad-bc)}}{2mc^2}$
en sortant $4c^2$ sous la racine et en simplifiant j'obtiens :
$x'=\dfrac{-md+\sqrt{m(ad-bc)}}{mc}$
l'autre racine $x''$ est :
$x''=\dfrac{-md-\sqrt{m(ad-bc)}}{mc}$
Du fait d'une symétrie centrale de la fonction homographique, je pense que chaque abcisse correspond à 2 points avec même m
c-a-d CD, chacun appartenant à une des 2 parties séparées de la courbe C (je ne sais pas si c'est bien exprimé ainsi).
Ouf, la rédaction de ce post est longue, LaTex c'est bien mais il faut maitriser...
Si quelqu'un pouvait se pencher sur la logique et les calculs.

Merci et @+
Patrick
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Re: Fonction homographique

Messagepar rebouxo » Mardi 23 Novembre 2010, 08:42

Je pense qu'il serait plus efficace d'écrire

$(cx+d)^2 = \dfrac{ad-bc}{m}$. De discuter selon les valeurs de $a$, $b$, $c$, $d$ et $m$ l'existence d'une solution (la relation est ici et c''est bien plus simple).

Dans le cas ou il y a des solutions : $x = -\dfrac{d}{c} \pm \dfrac{\sqrt{\dfrac{ad-bc}{m}}}{c}$. Ce qui revient au même, mais bon c'est plus court.

Olivier
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Re: Fonction homographique

Messagepar Senior » Mardi 23 Novembre 2010, 09:21

Ok merci, c'est plus cours et élégant. J'avais remarqué le carré isolé, mais je n'ai pas eu l'idée pour abréger.
Ma conclusion est elle juste et bien formulée ?
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Re: Fonction homographique

Messagepar rebouxo » Mardi 23 Novembre 2010, 11:10

Senior a écrit:Ok merci, c'est plus cours et élégant. J'avais remarqué le carré isolé, mais je n'ai pas eu l'idée pour abréger.
Ma conclusion est elle juste et bien formulée ?


Il manque surtout la relation E. La fin comme tu as deux solutions distinctes (dans certains cas) tu as deux points qui ont la même pente.
Reste à trouver la relation.

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Re: Fonction homographique

Messagepar Senior » Mardi 23 Novembre 2010, 18:07

rebouxo a écrit:
Senior a écrit:Ok merci, c'est plus cours et élégant. J'avais remarqué le carré isolé, mais je n'ai pas eu l'idée pour abréger.
Ma conclusion est elle juste et bien formulée ?

Il manque surtout la relation E. La fin comme tu as deux solutions distinctes (dans certains cas) tu as deux points qui ont la même pente.
Reste à trouver la relation.

La relation E qui garantie, entre $m$ et a, b, c, d, sur C l'existance de 2 points pour chaque valeur de m:
$\sqrt{m(ad-bc)}\ge0$ et $m\ne0$

@+
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Re: Fonction homographique

Messagepar balf » Mardi 23 Novembre 2010, 20:20

Ce serait plutôt m(ad-bc) $\geqslant$ 0. Le symbole $\sqrt{A}$ désigne toujours un nombre $\geqslant$ 0.

B.A.
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