Fonction homographique (relation coefficients/asymptotes)

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Fonction homographique (relation coefficients/asymptotes)

Messagepar Senior » Vendredi 26 Novembre 2010, 03:21

Bonjour/soir à tous !

Un petit pb sur le thème de la relation entre coefficients et asymptotes d'une fonction homographique:

-Enoncé :
1°) La courbe représentative des variations de la fonction:
$y=\dfrac{ax+b}{a'x+b'}$
admet comme asymptotes les droites $x=-2$ et $y=+3$.
- Quelles relations existe entre les coefficients a, b, a', b' ?
2°) Soit C le courbe représentative des variations de la fonction:
$y =\dfrac{3x+\lambda}{x+2}$
- Déterminer le paramètre $\lambda$ pour que la courbe C coupe l'axe des ordonnées au point $y=-1$.
3°) On considère la droite D d'équation:
$y=3+m(x+2)$ou x est la variable et m un paramètre.
- Montrer que $\forall m \in R$ la droite D passe par un point dont les coordonnées sont indépendantes de m.
- Pour quelle valeurs de $m$ l'ensemble $D\cap C$ n'est il pas un ensemble vide ?

- En route...
- 1°) la réponse :
Quelques remarques :
- Cette fonction est définie sur $R-\{\dfrac{-b'}{a'}\}$ et $a'\ne 0$
- La courbe $x=-2$ est une droite // à l'axe des ordonnées, donc la valeur de la fonction $|y| \rightarrow \infty$ au voisinage de -2.
- La courbe $y=+3$ est une droite // à l'axe des abcisses, donc $y=+3$ lorsque $|x|\rightarrow \infty$
- D'après le cours les droites d'équations $x=\dfrac{-b'}{a'}$ et $y=\dfrac{a}{a'}$ sont des asymptotes pour la courbe représentative de la fonction.
J'en déduis les relations suivantes :
(1) $\dfrac{-b'}{a'}=-2$ est nécessaire pour avoir $x=-2$ comme asymptote verticale à la courbe.
(2) $\dfrac{a}{a'}=+3$ est nécessaire pour avoir $y=+3$ comme asymptote horizontale à la courbe.
Si j'effectue la somme membre à membre des expressions (1) et (2) j'ai :
$\dfrac{-b'}{a'}+\dfrac{a}{a'}=-2+3 \Leftrightarrow \dfrac{a-b'}{a'}=1$.

2°) la réponse :
Lorsqu'une courbe coupe l'axe des ordonnées ($y'Oy)$ pour $y=-1$, la valeur de $x=0$ (ordonnée à l'origine).
J'en déduis les coordonnées de ce point (0;-1) ainsi que son expression associée :
$\dfrac{3x+\lambda}{x+2}=-1$
Remplaçons x par sa valeur et nous en déduisons la valeur du paramètre $\lambda=-2$.

3°) la réponse :
Le point de la droite D dont les coordonnées sont indépendantes de m est celui qui vérifie le système :
$\displaystyle \left\{y=3\atop x+2=0$
Les coordonnées de ce point sont $x=-2$ et $y=3$ : (-2;3) et c'est certifié Geogebra :brevet:

<mode_pas_sûr>
Les valeurs de m qui vérifie l'ensemble $D\cap C$ sont celles qui vérifie l'équation
correspondante aux points communs à la droite D et à la courbe C :
$m(x+2)+3=\dfrac{3x+\lambda}{x+2}$ avec $x\ne -2$.
</mode_pas_sûr>

Merci pour la vérif :wink:

@+
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Re: [Fonction homographique] Relation coefficients/asymptote

Messagepar balf » Samedi 27 Novembre 2010, 12:09

Tout est bon, hormis que la fin de la 3ème question n'est pas traité. Une chose n'est pas claire à ce sujet : $\lambda$ est-il ici quelconque, ou a-t-il la valeur trouvée précédemment (—2) ?

Ceci dit, en chassant le dénominateur, on obtient une équation du second degré en x, avec paramètre(s), dont il faut discuter l'existence des solutions en fonction des valeurs du paramètre m si $\lambda$ est fixé, des deux paramètres s'il ne l'est pas.

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Re: [Fonction homographique] Relation coefficients/asymptote

Messagepar Senior » Samedi 27 Novembre 2010, 16:33

balf a écrit:Tout est bon, hormis que la fin de la 3ème question n'est pas traité. Une chose n'est pas claire à ce sujet : $\lambda$ est-il ici quelconque, ou a-t-il la valeur trouvée précédemment (—2) ?
Ceci dit, en chassant le dénominateur, on obtient une équation du second degré en x, avec paramètre(s), dont il faut discuter l'existence des solutions en fonction des valeurs du paramètre m si $\lambda$ est fixé, des deux paramètres s'il ne l'est pas.

Je pense que la discussion des solutions est à ma portée (du moins avec $\lambda=-2$), mais ce qui me gène c'est la valeur exclue $x\ne-2$. Elle ce trouve dans le membre de droite au dénominateur, mais aussi dans le membre de gauche liée à m. Je ne sais pas comment écrire une expression équivalente, car je "crains" une aberration ensuite :(

Merci et @+
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Re: Fonction homographique (relation coefficients/asymptotes

Messagepar balf » Samedi 27 Novembre 2010, 20:14

L'égalité est équivalente (logiquement) à l'égalité où l'on a chassé le dénominateur ET la condition x $\neq$ —2. On obtient donc une équation du second degré avec paramètres, et la condition supplémentaire que —2 ne doit pas en être racine. Même avec $\lambda$ quelconque, ce n'est pas très compliqué à discuter : les calculs s'arrangent plutôt bien.

B.A.
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Re: Fonction homographique (relation coefficients/asymptotes

Messagepar Senior » Samedi 27 Novembre 2010, 23:55

Encouragé par tes propos, je poursuis...
Je commence par la discussion avec $\lambda=-2$ et je détaille l'équivalence.
$m(x+2)+3}=\dfrac{3x-2}{x+2}$
Je réduis au même dénominateur le membre de gauche :
$\dfrac{m(x+2)(x+2)+3(x+2)}{x+2}=\dfrac{3x-2}{x+2}$
Je "vire" le dénominateur et j'écris :
Je viens de me rendre compte que si $m=0$ il y a une aberration, donc à exclure aussi !
$\displaystyle \left\{m(x^2+4x+4)+8=0\atop x\ne-2, m\ne0$
$\Leftrightarrow (1) \displaystyle \left\{mx^2+4mx+4m+8=0\atop x\ne-2, m\ne0$
Calcul du discriminant :
$\Delta=16m^2-4m(4m+8)$ // c'est comme en programmation, une égalité par ligne ?
$\Delta=-32m$; examinons son signe
$\Delta\ge0\Leftrightarrow-32m\ge0\Rightarrow m<0$ // puisque $m\ne0$.
Donc des solutions uniquement pour $m<0$ et partant de (1) :
$x_1=\dfrac{-4m-4\sqrt{-2m}}{2m}\Leftrightarrow x_1=\dfrac{-2}{m}(m+\sqrt{-2m})$
$x_2=\dfrac{-4m+4\sqrt{-2m}}{2m}\Leftrightarrow x_2=\dfrac{-2}{m}(m-\sqrt{-2m})$
Une pause pour une 1ère vérification avant la suite... :wink:
Merci !
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Re: Fonction homographique (relation coefficients/asymptotes

Messagepar Senior » Lundi 29 Novembre 2010, 10:00

Terminons la dicussion avec le paramètre $\lambda$ en plus de $m$:
$m(x+2)+3=\dfrac{3x+\lambda}{x+2}$ avec $x\ne -2$
qui devient :
$\Leftrightarrow (2) \displaystyle \left\{mx^2+4mx+4m+6-\lambda=0\atop x\ne-2, m\ne0$
Le calcul de son discriminant donne :
$\Delta_\lambda = 16m^2-4m(4m+6-\lambda)$
qui devient :
$\Delta_\lambda = 4m(\lambda-6)$
Examinons son signe. Ce discriminant contient un produit entre $m$ et $\lambda$ (je ne sais pas encore faire les tableaux en LaTex, donc du blabla...)
$\Delta_\lambda \ge0$ ssi $4m$ et $(\lambda -6)$ sont du même signe et que je résume à ceci :
($m >0$ et $\lambda \ge6$) ou ($m<0$ et $\lambda\le6)$ // Houston, j'ai eu du mal à maintenir la cabine pressurisé :D
Dans ces conditions les solutions en partant de (2) sont :
$x_1=\dfrac{-2m+\sqrt{m(\lambda-6)}}{m}}$
$x_2=\dfrac{-2m-\sqrt{m(\lambda-6)}}{m}}$

Merci pour la vérification :wink:

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Dernière édition par Senior le Lundi 29 Novembre 2010, 20:24, édité 1 fois.
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Re: Fonction homographique (relation coefficients/asymptotes

Messagepar balf » Lundi 29 Novembre 2010, 11:33

Il n'y a pas de raison d'éliminer le cas m=0 : simplement, on obtient alors une équation du premier degré (fait qui s'interprète géométriquement).

Il y a une erreur de recopiage, je pense, dans les formules de résolution, sinon le rest est bon. Il faut juste vérifier s'il y a des valeurs des paramètres pour lesquelles on obtient la racine x=2.

Cei étant, on ne demandait pas les solutions, mais seulement si elles existent, me semble-t-il.

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Re: Fonction homographique (relation coefficients/asymptotes

Messagepar Senior » Lundi 29 Novembre 2010, 20:52

balf a écrit:Il n'y a pas de raison d'éliminer le cas m=0 : simplement, on obtient alors une équation du premier degré (fait qui s'interprète géométriquement).
Il y a une erreur de recopiage, je pense, dans les formules de résolution, sinon le rest est bon. Il faut juste vérifier s'il y a des valeurs des paramètres pour lesquelles on obtient la racine x=2.

Pour $x=-2$, on obtient une équation du 1er degré en m avec une autre aberration. Je pense à cause du facteur (x+2) dans le membre de droite de l'expression initiale. J'ai corrigé l'erreur sous la racine, merci.

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Re: Fonction homographique (relation coefficients/asymptotes

Messagepar Senior » Lundi 29 Novembre 2010, 20:56

balf a écrit:Il n'y a pas de raison d'éliminer le cas m=0 : simplement, on obtient alors une équation du premier degré (fait qui s'interprète géométriquement).
Il y a une erreur de recopiage, je pense, dans les formules de résolution, sinon le rest est bon. Il faut juste vérifier s'il y a des valeurs des paramètres pour lesquelles on obtient la racine x=2.

Pour $x=-2$, on obtient une équation du 1er degré en m avec une autre aberration. Je pense à cause du facteur (x+2) dans le membre de droite de l'expression initiale. J'ai corrigé l'erreur sous la racine.

Merci et @+
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