Exercice IUFM octogones réguliers

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Exercice IUFM octogones réguliers

Messagepar amélie33 » Lundi 04 Mars 2013, 16:48

Bonjour à toute la communauté,
Je m'inscris tout spécialement sur le forum pour vous appeler à mon secours. En effet je m'arrache les cheveux sur un problème de géométrie qui est le suivant :

Image

1) Dans la figure 1, le carré ABCD à pour sommets les milieux des côtés du carré IJKL. Donner l'aire du carré ABCD en fonction de celle du carré IJKL.
J'ai bien compris que l'aire du carré ABCD est la moitié de celle de IJKL mais je n'arrive pas à le justifier.

Si on pose IJ = 2a, quelle est en fonction de a la longueur des côtés du carré ABCD?
Faut il appliquer le théorème de Pythagore? ou dire que si l'aire de ABCD vaut la moitié de celle de IJKL c'est que les cotés de ABCD font la moitié des cotés de IJKL donc 1a?

2) On a dessiné la figure 2 sur un papier quadrillé. L'octogone ABCDEFGH est-il régulier?
J'ai appliqué le théorème de Pythagore pour trouver la valeur des côtés [AB][CD][EF] et [GH] en utilisant le carreau comme unité.

3) Vous trouvez dans un manuel la construction suivante :
Tracer un carré MNPQ. Placer sur le côté [MN] le point A tel que MA = MP/2
Placer sur les côtés du carré les points B, C, D, E, F, G, H tels que :
NA = NB = PC = PD = QE = QF = MG = MH. On obtient l'octogone ABCDEFGH.
S'agit-il d'un octogone régulier? Justifiez votre réponse.

Alors là c'est la meilleure, j'ai beau retourner le problème dans tous les sens je n'y arrive pas. Cela correspond en fait à la figure 3. J'ai réussi à montrer que AB = CD = EF = GH et aussi que tous les angles de l'octogone font 135° mais je n'arrive pas à montrer que tous les côtés sont égaux ou bien qu'ils ne le sont pas :cry:

Je vous remercie par avance de toute l'aide que vous pourrez m'apporter.
amélie33
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Re: Exercice IUFM octogones réguliers

Messagepar rebouxo » Lundi 04 Mars 2013, 19:51

amélie33 a écrit:
1) Dans la figure 1, le carré ABCD à pour sommets les milieux des côtés du carré IJKL. Donner l'aire du carré ABCD en fonction de celle du carré IJKL.
J'ai bien compris que l'aire du carré ABCD est la moitié de celle de IJKL mais je n'arrive pas à le justifier.


Tiens le retour des PE. Bienvenu sur le site.

Bon, ben c'est bien dommage que tu n'arrives pas à justifier que l'aire de ABCD soit la moitié de celle de IJKL. Car ce n'est pas bien difficile. Regarde bien la figure, éventuellement refais sur du papier non quadrillé. Pour faire un peu de pédagogie, on va jouer à Socrate et à l'esclave. C'est moi Socrate :mrgreen:
amélie33 a écrit:Si on pose IJ = 2a, quelle est en fonction de a la longueur des côtés du carré ABCD?
Faut il appliquer le théorème de Pythagore? ou dire que si l'aire de ABCD vaut la moitié de celle de IJKL c'est que les cotés de ABCD font la moitié des cotés de IJKL donc 1a?

On peut utiliser Pythagore ou le rapport des aires. Attention, si on tu double le côté du carré, l'aire n'est pas doublée. Fais quelques essais (Socrate et l'esclave, 2e).
amélie33 a écrit:
2) On a dessiné la figure 2 sur un papier quadrillé. L'octogone ABCDEFGH est-il régulier?
J'ai appliqué le théorème de Pythagore pour trouver la valeur des côtés [AB][CD][EF] et [GH] en utilisant le carreau comme unité.

OK, il faut bien utiliser le th. de Pythagore mais la réponse c'est quoi, régulier ou pas ? Et qu'est-ce qu'un polygone régulier ? Plutôt que valeur du côté $[AB]$, il vaudrait mieux utiliser longueur ou distance. Une valeur ce peut-être pas mal de chose : une longueur, une aire, de l'argent, un poids...
amélie33 a écrit:
3) Vous trouvez dans un manuel la construction suivante :
Tracer un carré MNPQ. Placer sur le côté [MN] le point A tel que MA = MP/2
Placer sur les côtés du carré les points B, C, D, E, F, G, H tels que :
NA = NB = PC = PD = QE = QF = MG = MH. On obtient l'octogone ABCDEFGH.
S'agit-il d'un octogone régulier? Justifiez votre réponse.

Alors là c'est la meilleure, j'ai beau retourner le problème dans tous les sens je n'y arrive pas. Cela correspond en fait à la figure 3. J'ai réussi à montrer que AB = CD = EF = GH et aussi que tous les angles de l'octogone font 135° mais je n'arrive pas à montrer que tous les côtés sont égaux ou bien qu'ils ne le sont pas :cry:


Combien vaut $HA$ ? Essaye de faire apparaître la longueur $MA$ ! Je renouvelle la question : c'est quoi un polygone régulier ?

Bon courage
Olivier
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Re: Exercice IUFM octogones réguliers

Messagepar Framboise » Mardi 05 Mars 2013, 12:03

Bonjour,

le carré ABCD à pour sommets les milieux des côtés du carré IJKL. Donner l'aire du carré ABCD en fonction de celle du carré IJKL.

Soit O le centre de la figure.
Décomposer en 4 quarts la figure.
Regarder IOAD, comparer les aires.
Ensuite cela me semble évident.
J'ai le virus des sciences, ça se soigne ?
Framboise
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