[TS] Etude variations fonction

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[TS] Etude variations fonction

Messagepar Joubine » Dimanche 29 Octobre 2006, 17:31

Bonjour à tous,

Bon j'ai une fonction

$$f(x)=x+1+\dfrac{x+\ln x}{x^2}$$



Et on me demande d'étudier ses variations, donc je me met à calculer sa dérivée, je trouve

$$f'(x) = 1+\dfrac{1+\frac{1}{x}}{x^2} - \dfrac{2(x+\ln x)}{x^3}$$



(Ce que m'a confirmé mathématica)

Bon une fois ici, je ne vois pas de facon évidente de connaitre le signe de $f'(x)$ :shock: .. Apparament la courbe $f(x)$ a l'air d'etre strictement croissante, donc je cherche un moyen de trouver que $f'(x)>0$ mais avec le $-2(x+\ln x)$ qui traine je vois vraiment pas comment ..


* Je note que dans les exercices precedant celui ci, on m'a demandé d'étudier $h(x)=x+\ln x$ , quelques limites sur $f(x)$ , et une étude sur la position de la courbe représentative de $f(x)$ et de son asymptote.
Donc il doit - peut-etre - avoir un rapport ...

EDIT: Sur $h(x)$ je sais seulement qu'il s'annule en $\alpha$ , et son signe peut etre calculé ici sur $]0;+\infty[$ ..

Pourriez vous me mettre sur la voie :roll: ?

Merci bien
Dernière édition par Joubine le Dimanche 29 Octobre 2006, 20:43, édité 1 fois.
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Messagepar MB » Dimanche 29 Octobre 2006, 18:33

Sous forme un peu simplifiée, on obtient :

$$ f'(x) = 1-\dfrac{2ln(x)+x-1}{x^3} $$



Mais le signe ne semble pas plus évident. L'étude de $h(x)$ donnait quoi ?
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Messagepar pihro » Dimanche 29 Octobre 2006, 20:03

Si on vous a demandé d'étudier les variations de $h$, c'est qu'elles resservent sûrement dans l'étude de ta nouvelle fonction. Essaye de réfléchir à ce que font la somme de deux fonctions croissantes, etc...
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Messagepar Arnaud » Dimanche 29 Octobre 2006, 20:12

Parfois on oublie les outils les plus évidents, pour se lancer systématiquement dans le calcul de la dérivée... :D

[Edit : bah voilà j'ai encore dit une bêtise ! :D Je la laisse pour me punir]
Dernière édition par Arnaud le Dimanche 29 Octobre 2006, 20:26, édité 1 fois.
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Messagepar MB » Dimanche 29 Octobre 2006, 20:15

pihro a écrit:Si on vous a demandé d'étudier les variations de $h$, c'est qu'elles resservent sûrement dans l'étude de ta nouvelle fonction. Essaye de réfléchir à ce que font la somme de deux fonctions croissantes, etc...


Oui, mais $\dfrac{h(x)}{x^2}$ n'est pas croissante.

Je pense qu'il faut utiliser $ln(x) \leq x-1$. On obtient au niveau de la dérivée:

$$ f'(x) \geq 1-\dfrac{2(x-1)+x-1}{x^3} = 1+\dfrac{3}{x^3}-\dfrac{3}{x^2}$$



A partir de là, tu dois pouvoir montrer que $f'(x) \geq 0$.
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Messagepar Joubine » Dimanche 29 Octobre 2006, 20:30

J'ai pensé à utiliser le fait de prendre $a$ et $b$ tél que $a<b$ et ainsi voir le signe de $f(b)-f(a)$ .. j'ai trouvé $b-a + \frac{h(b)}{b^2} - \frac{h(a)}{a^2}$ et comme $h(x)$ strictement croissante .. donc $f$ strictement croissante, non ?
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Messagepar MB » Dimanche 29 Octobre 2006, 20:35

Joubine a écrit:J'ai pensé à utiliser le fait de prendre $a$ et $b$ tél que $a<b$ et ainsi voir le signe de $f(b)-f(a)$ .. j'ai trouvé $b-a + \frac{h(b)}{b^2} - \frac{h(a)}{a^2}$ et comme $h(x)$ strictement croissante .. donc $f$ strictement croissante, non ?


Non, il ne faut pas oublier les termes en $\dfrac{1}{x^2}$.
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Messagepar Joubine » Dimanche 29 Octobre 2006, 20:38

MB a écrit:
Joubine a écrit:J'ai pensé à utiliser le fait de prendre $a$ et $b$ tél que $a<b$ et ainsi voir le signe de $f(b)-f(a)$ .. j'ai trouvé $b-a + \frac{h(b)}{b^2} - \frac{h(a)}{a^2}$ et comme $h(x)$ strictement croissante .. donc $f$ strictement croissante, non ?


Non, il ne faut pas oublier les termes en $\dfrac{1}{x^2}$.


Ah oui mince : si $a<b$, $\dfrac{1}{b^2} < \dfrac{1}{a^2}$ :?
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Messagepar MB » Dimanche 29 Octobre 2006, 20:40

Tu as vu la piste que je t'ai donné ?
Il faut utiliser que $ln(x) \leq x-1$ qui est une inégalité assez connue.
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Messagepar Joubine » Dimanche 29 Octobre 2006, 20:45

MB a écrit:Tu as vu la piste que je t'ai donné ?
Il faut utiliser que $ln(x) \leq x-1$ qui est une inégalité assez connue.


Ah, il faut utiliser le fait que $ln(x)$ est bornée ? je sais pas si je peux car je n'ai jamais vu ca en cours .. si je vois pas d'autres solutions je ferais avec ca.

Car la question d'apres c'est "En déduire l'existence de $\beta$ telle que $f(\beta)=0$, je sais pas si ca peut aider ..
Dernière édition par Joubine le Dimanche 29 Octobre 2006, 20:47, édité 1 fois.
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Messagepar Arnaud » Dimanche 29 Octobre 2006, 20:47

Dans la première partie, les seules questions étaient l'étude de $h$ et l'existance de $\alpha$, ou y avait-il autre chose ?
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Messagepar MB » Dimanche 29 Octobre 2006, 20:49

Joubine a écrit:Ah, il faut utiliser le fait que $ln(x)$ est bornée ? je sais pas si je peux car je n'ai jamais vu ca en cours .. si je vois pas d'autres solutions je ferais avec ca.


Non il ne faut pas, car c'est faux. :wink:
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Messagepar Joubine » Dimanche 29 Octobre 2006, 20:52

Arnaud a écrit:Dans la première partie, les seules questions étaient l'étude de $h$ et l'existance de $\alpha$, ou y avait-il autre chose ?


Précisement, au tout début de l'exercice je devais étudier $P(x)=3x^2-x-2$ puis $g(x)=x^3-x+1-2\ln x$ , et quelques questions apres ( études de $g'$ ) je tombe sur l'expression de $f(x)$, la on me demande de calculer 3 limites ( en $0$ et en $+\infty$ ).
Puis justifier l'équation des asymptotes de $f$ , ensuite on défini $h$ par $h(x)=x+\ln x$ , on en déduit qu'il existe $\alpha$ tél que $h(\alpha)=0$

et j'en arrive à la question "étudier le sens de variation de $f$" .. Donc connaissant $h(x)$, les limites de $f(x)$ et les positions des asymptotes par rapport aux courbes je devrais trouver ces variations .. donc je sais pas comment faire ..
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Messagepar MB » Dimanche 29 Octobre 2006, 20:59

Il me semble que $f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^3}$.
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Messagepar Arnaud » Dimanche 29 Octobre 2006, 21:00

MB m'a grillé, mais effectivement tu as directement la réponse à la question dans ce cas.
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Messagepar MB » Dimanche 29 Octobre 2006, 22:32

Arnaud a écrit:MB m'a grillé, mais effectivement tu as directement la réponse à la question dans ce cas.


Oui, c'est dommage de ne pas l'avoir dit avant.
Il est préférable de donner les énoncés en entier car du coup la solution que j'avais donné était un peu complexe pour un élève de TS.
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Messagepar Joubine » Lundi 30 Octobre 2006, 01:27

Oui, désolé ! Ca m'était completement sorti de l'esprit qu'il pouvait y'avoir un lien avec une question donné sur la page d'avant .. Bref, j'ai enfin fini mon DM ! ( 4 jours de taffe quand meme , pour 12 pages redigée soigneusement avec mon ami $\LaTeX$ ) et je remerci MB , Arnaud et pihro pour leur aide!!
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Messagepar MB » Lundi 30 Octobre 2006, 01:32

De rien. Tu es le bienvenu ici.
On voit que LaTeX est ton ami ! :wink:
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