[TS] Étude de la convergence d'une suite \Tableur (DM)

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Re: [TS] Étude de la convergence d'une suite \Tableur (DM)

Messagepar Leslie » Vendredi 11 Novembre 2011, 17:58

$X_{n+1} -X_n$
$V_{n+1}+\dfrac{1}{n+1}-V_n-\dfrac{1}{n}$
$\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{(n+1)^2}-\dfrac{1}{n}$
$\dfrac{n+1}{(n+1)^2}+\dfrac{1}{(n+1)^2}-\dfrac{1}{n}$
$\dfrac{n+2}{(n+1)^2}-\dfrac{1}{n}$
$\dfrac{n^2+2n}{n(n+1)^2}-\dfrac{n(n+1)^2}{n(n+1)^2}$
$\dfrac{n^2+2n-n+2 n^2+n^3}{n(n+1)^2}$
$\dfrac{n+3 n^2+n^3}{n(n+1)^2}$
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Re: [TS] Étude de la convergence d'une suite \Tableur (DM)

Messagepar jcs » Vendredi 11 Novembre 2011, 18:07

Leslie a écrit:$\dfrac{n^2+2n}{n(n+1)^2}-\dfrac{n(n+1)^2}{n(n+1)^2}$

non vous n'aviez pas 1 mais $\dfrac{1}{n}$ il ne fallait multiplier numérateur et dénominateur que par $\cdots$

n'oubliez pas les parenthèses
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Re: [TS] Étude de la convergence d'une suite \Tableur (DM)

Messagepar Leslie » Vendredi 11 Novembre 2011, 18:10

Arf, erreur d'inattention, pardon.

$X_{n+1} -X_n$
$V_{n+1}+\dfrac{1}{n+1}-V_n-\dfrac{1}{n}$
$\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{(n+1)^2}-\dfrac{1}{n}$
$\dfrac{n+1}{(n+1)^2}+\dfrac{1}{(n+1)^2}-\dfrac{1}{n}$
$\dfrac{n+2}{(n+1)^2}-\dfrac{1}{n}$
$\dfrac{n^2+2n}{n(n+1)^2}-\dfrac{(n+1)^2}{n(n+1)^2}$
$\dfrac{n^2+2n-(n^2+2n+1)}{n(n+1)^2}$
$\dfrac{-1}{n(n+1)^2}$
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Re: [TS] Étude de la convergence d'une suite \Tableur (DM)

Messagepar jcs » Vendredi 11 Novembre 2011, 18:13

bien quel est le signe de cette expression
$\dfrac{-1}{n(n+1)^2$ ?
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Re: [TS] Étude de la convergence d'une suite \Tableur (DM)

Messagepar Leslie » Vendredi 11 Novembre 2011, 18:14

C'est négatif, la suite $(X_n)$ est décroissante.
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Re: [TS] Étude de la convergence d'une suite \Tableur (DM)

Messagepar jcs » Vendredi 11 Novembre 2011, 18:19

en résumé

$(v_n)$ est croissante $(x_n)$ est décroissante $(x_n-v_n) $ tend vers o donc les suites sont $\cdots$
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Re: [TS] Étude de la convergence d'une suite \Tableur (DM)

Messagepar Leslie » Vendredi 11 Novembre 2011, 18:21

adjacentes.
J'en suis donc à la B-3) ! :D
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Re: [TS] Étude de la convergence d'une suite \Tableur (DM)

Messagepar jcs » Vendredi 11 Novembre 2011, 18:23

vous avez déjà énoncé la conclusion il vous reste surtout à rédiger
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Re: [TS] Étude de la convergence d'une suite \Tableur (DM)

Messagepar Leslie » Vendredi 11 Novembre 2011, 18:26

B-3) La suite $(V_n)$ est croissante, et majoré par $X_0$, elle est donc convergente.
Cela suffit-il pour cette question ou ??
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Re: [TS] Étude de la convergence d'une suite \Tableur (DM)

Messagepar jcs » Vendredi 11 Novembre 2011, 18:34

cela me suffirait
vous avez bien montré que les suites $(x_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes
$(v_n)$ est croissante majorée donc elle converge.

une remarque respectez le nom des suites $x$ et $v$ sont en minuscules dans votre texte
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Re: [TS] Étude de la convergence d'une suite \Tableur (DM)

Messagepar Leslie » Vendredi 11 Novembre 2011, 19:09

Devoir Maison :

1) A) Conjectures:

1) La suite $(v_n)$ converge vers $\dfrac{5}{3}$.
2) a) Lorsque $n\geq31$, $V_{n+1}-V_n \leq 10^{-3}$
b) Lorsque $n\geq316$, $V_{n+1}-V_n \leq 10^{-5}$

Il existe un $n_0$ tel que $\forall {n_1, n_2} , n_0 < n_1 < n_2 => v_{n_1 + 1} - v_{n_1} > v_{n_2 + 1} - v_{n_2}$.
D'après la définition sur la convergence d'une suite, la suite $(v_n)$ converge.

3) **Graphique**

4) La suite $(v_n)$ est croissante et la suite $(x_n)$ est décroissante, elles sont adjacentes.

2)

2 suites $(v_n)$ et $(x_n)$ sont adjacentes lorsque l'une d'elle est croissante, l'autre décroissante et $lim (u_n-x_n)=0$
● Montrons que la suite $(v_n)$ est croissante,$V_{n+1} \geq V_n$.
$V_{n+1} -V_n$
$V_{n+1}-V_n=[1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{n^2}+ \dfrac{1}{(n+1)^2}]$$- [1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+...+ \dfrac{1}{n^2}]$
$V_{n+1}-V_n=\dfrac{1}{(n+1)^2}$
Le dénominateur étant positif, la suite $(v_n)$ est donc croissante pour tout $n \in \N$, $v_{n+1} \geq v_n$

● Montrons que la suite $(x_n)$ est décroissante,$x_{n+1} \leq X_n$
$X_{n+1} -X_n$
$=V_{n+1}+\dfrac{1}{n+1}-V_n-\dfrac{1}{n}$
$=\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{(n+1)^2}-\dfrac{1}{n}$
$=\dfrac{n+1}{(n+1)^2}+\dfrac{1}{(n+1)^2}-\dfrac{1}{n}$
$=\dfrac{n+2}{(n+1)^2}-\dfrac{1}{n}$
$=\dfrac{n^2+2n}{n(n+1)^2}-\dfrac{(n+1)^2}{n(n+1)^2}$
$=\dfrac{n^2+2n-(n^2+2n+1)}{n(n+1)^2}$
$X_{n+1} -X_n=\dfrac{-1}{n(n+1)^2}$
$\dfrac{-1}{n(n+1)^2$ étant négatif, la suite $(x_n)$ est donc décroissante pour tout $n \in \N$, $x_{n+1} \leq x_n$

● Montrons que $lim \ v_n-x_n=0$
$x_n - v_n$
= $(v_n + \frac{1}{n}) - v_n$
= $\frac{1}{n}$
On reconnait la suite de référence $\dfrac{1}{n}$, qui admet pour limite $0$.

Ainsi les suites $(v_n)$ et $(x_n)$ sont bien adjacentes.

3)
La suite $(v_n)$ est croissante, et majorée par $x_0$, elle est donc bien convergente.
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Re: [TS] Étude de la convergence d'une suite \Tableur (DM)

Messagepar jcs » Vendredi 11 Novembre 2011, 20:43

1 ) $\dfrac{'5}{3}$ rien ne permet de l’affirmer ; d'ailleurs c'est faux; c'est une valeur entre 1,64294005 et 1,64493606
valeurs pour $v_{500}$ et pour $x_{500}$

converge vers $\ell$ tout simplement

2)je dirais plutôt :
pour tout $p \in  \mathbb{N}$ il existe un $n_0$ tel que pour tout $n\geqslant n_0,\;  v_{n+1}-v_n \leqslant  10^{-p}$

c'est bien ce que vous avez fait : vous avez pris $p=3$ et vous avez trouvé $n_0= 31$
puis$ p=5$ et vous avez trouvé comme $n_0= 316$

3)vous pouvez abréger en écrivant$v_{n+1}=v_n+\dfrac{1}{(n+1)^2}$


je changerais l'ordre
Le dénominateur étant positif , pour tout $n \in \N$, $v_{n+1} \geqslant v_n$ la suite $(v_n)$ est donc croissante

Leslie a écrit:la suite $(x_n)$ est donc décroissante pour tout $n \in \N$, $x_{n+1} \leq x_n$

là aussi je changerais l'ordre
pour tout $n \in \N$, $x_{n+1} \leqslant x_n$, la suite $(x_n)$ est donc décroissante

On reconnait la suite de référence $\left(\dfrac{1}{n}\right)$, qui admet pour limite $0$. manque les parenthèses

voilà les quelques remarques sinon c'est correct
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Re: [TS] Étude de la convergence d'une suite \Tableur (DM)

Messagepar Mikelenain » Vendredi 11 Novembre 2011, 20:45

jcs a écrit:1 ) $\dfrac{5}{3}$ rien ne permet de l’affirmer

c'est une conjecture ;)
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Re: [TS] Étude de la convergence d'une suite \Tableur (DM)

Messagepar kojak » Vendredi 11 Novembre 2011, 21:31

Mikelenain a écrit:
jcs a écrit:1 ) $\dfrac{5}{3}$ rien ne permet de l’affirmer

c'est une conjecture ;)

et donc $ \ell\approx 1.65$ suffit amplement

PS : tu peux même avoir la valeur exacte :wink:
pas d'aide par MP
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Re: [TS] Étude de la convergence d'une suite \Tableur (DM)

Messagepar Leslie » Vendredi 11 Novembre 2011, 22:38

Ça roule, merci à vous 4 ! :D
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Re: [TS] Étude de la convergence d'une suite \Tableur (DM)

Messagepar kojak » Samedi 12 Novembre 2011, 13:06

Bonjour,

J'ajouterais qques remarques à ta rédaction :

Leslie a écrit:4) La suite $(v_n)$ est croissante et la suite $(x_n)$ est décroissante, elles sont adjacentes.
C'est incomplet : je dirais plutôt : La suite $(v_n)$ est croissante et la suite $(x_n)$ est décroissante et admettent la même limite.


Leslie a écrit:Ainsi les suites $(v_n)$ et $(x_n)$ sont bien adjacentes
Je re-préciserais :

La suite $(v_n)$ est croissante
La suite $(x_n)$ est décroissante
$\ds\lim_{n\to +\infty} (v_n-x_n)=0$

Ainsi les suites $(v_n)$ et $(x_n)$ sont donc adjacentes

Leslie a écrit:3)
La suite $(v_n)$ est croissante, et majorée par $x_0$, elle est donc bien convergente.
Et pourquoi est-elle majorée par $x_0$ ? l'as tu démontré ? Je ne l'ai pas lu dans ta rédaction.

Donc tu ne peux pas utiliser ceci.

Cependant, tu devrais avoir un th dans le cours sur les suites adjacentes qui te permet de conclure.
pas d'aide par MP
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Re: [TS] Étude de la convergence d'une suite \Tableur (DM)

Messagepar Leslie » Dimanche 13 Novembre 2011, 22:34

Un théorème ? Dans mon cours, j'ai juste les conditions pour dire que 2 suites sont adjacentes.... :?
Dois-je montrer que la suite est majorée tout de même ?
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Re: [TS] Étude de la convergence d'une suite \Tableur (DM)

Messagepar jcs » Dimanche 13 Novembre 2011, 23:26

Bonsoir,
il faudrait mieux le faire
vous avez $v_n \leqslant x_n$ pour tout $n$ et vous avez démontré que $(x_n)$ était décroissante ($x_n \leqslant x_{n-1}\leqslant \cdots \leqslant x_0$)
donc $\dots$
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Re: [TS] Étude de la convergence d'une suite \Tableur (DM)

Messagepar Leslie » Lundi 14 Novembre 2011, 13:58

3)
Nous savons que $v_n \leqslant x_n$, et par ailleurs nous avons démontré que $x_n$ était décroissante $x_n \leqslant x_{n-1}\leqslant \cdots \leqslant x_0$.
Par conséquent, $0\leq \ v_n\leq x_0$. La suite $(v_n)$ est croissante, et majorée par $x_0$, elle est donc bien convergente.
Dernière édition par Leslie le Lundi 14 Novembre 2011, 17:34, édité 1 fois.
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Re: [TS] Étude de la convergence d'une suite \Tableur (DM)

Messagepar Leslie » Lundi 14 Novembre 2011, 17:34

Hum ça convient donc, comme réponse ? :)
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