Etude de fonction

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Lycée.

Modérateur: gdm_aidesco

Règles du forum
Merci d'éviter le style SMS dans vos messages et de penser à utiliser la fonction Recherche avant de poster un message. Pour joindre des fichiers à vos messages, consulter ce sujet.
> Penser à utiliser le mode LaTeX (voir ici) afin de rendre vos formules plus lisibles.
> Ne poster qu'un exercice (ou problème) par sujet et indiquer son niveau précis dans le titre du message.

Etude de fonction

Messagepar xavier005 » Jeudi 02 Février 2006, 12:52

Bonjour, est ce que quelqun pourait me corriger et me donner un peu d'aide pour l'exercice suivant svp.

Partie A
On considere les fonctions f et g definies sur R par:
f(x)=e(-x^2) et g(x)=x^2*e(-x^2)

On note respectivement Cf et Cg les courbes representatives de f et g dans un repere orthonormal (O,i,j), dont les traces sur trouvent normalement sur la feuille de mon exercice mais je n'ai pa pu les copier, dsl, mais il est facile de les representer sur une calculatrice.
1)Identifier Cf et Cg sur la feuille fournie.(Justifier la reponse)
On peut clairement identifier les deux courbes en posant:
f(0)=e(-0^2)=1
donc Cf est la courbe qui admet f(0)=1 , dont 1 est un maximum.

g(0)=0^2*e(-0^2)=0
donc Cg est la courbe qui admet g(0)=0

2)Etudier la parite des fonctions f et g.
f(-x)=e(-(-x)^2)=e(-x^2)=f(x)
f(-x)=f(x) donc f est une fonction paire.

g(-x)=(-x)^2*e(-(-x)^2)=x^2*e(-x^2)=g(x)
g(-x)=g(x) donc g est une fonction paire.

3) Etudier le sens de variation de f et de g.Etudier les limites de f et g en +infini.

f'(x)=-2x*e(-x^2)
Regardons ou f'(x) s'annule:
-2x*e(-x^2)=0
-2x=0 et e(-x^2)=0
x=0 pas de solution

f est donc croissante sur ]-infini;0[ etr decroissante sur ]0;+infini[.

g'(x)=2x*e(-x^2)+x^2*-2x*e(-x^2)=2xe(-x^2)-2x^3e(-x^2)
=e(-x^2)*(2x-2x^3)
Regardons ou g'(x) s'annule:
g'(x)=0
e(-x^2)*(2x-2x^3)=0
e(-x^2)=0 et (2x-2x^3)=0
pas de solution x=-1 x=0 x=1
donc g est croissante sur ]-infini;-1[ et ]0;1[ et est decroissante sur ]-1;0[ et ]1;+infini[.

-x^2 tend vers -infini en +infini , donc e(-x^2) tend vers 0 en +infini.
f tend vers 0 en +infini

comme e(-x^2) tend vers 0 en +infini , l'exponentielle l'emportant sur x^2, x^2*e(-x^2) tend aussi vers 0 en +infini.
g tend vers 0 en +infini.

4)Etudier la position relative de Cf et de Cg.
f(x)-g(x) = (1-x^2)*e(-x^2)
pour tout x de R, e(-x^2)>0
Donc f(x)-g(x) est du signe de (1-x^2)=(1-x)(1+x)
Donc Cf est au dessus de Cg sur ] -1 ; 1[ et en dessous sinon

Partie B:
On considere la fonction G definie sur R par:
G(x)=primitive de 0 a x, de ( t^2*e(-t^2))dt

1) Que represente G pour la fonction g.
G est la primitive sur qui s'annule en 0 de la fonction g.

2)Donner pour x>0, une interpretation de G(x) en termes d'aires.G(x) correspond a l'aire de lacourbre delimite en tre 0 et x.

3)Etudier le sens de variation de G sur R.
Pour tout x réel G'(x)=t^2*e(-t^2)>0, donc G est strictement croissante sur R.

4)Demontrer,que,pour tout reel x,G(x)=1/2*[F(x)-xe(-x^2)]; (on pourra comencer par comparer les fonctions derivees de G et de x-->1/2*[F(x)-xe(-x^2)].
On admet que la fonction F admet une limite l en + infini , et que cette limite l est egale a l'aire, en unites d'aire,du domaine A limite par la courbe Cf et les demi droites (O;i) et (O;j). i et j etqnt des vecteurs.
G'(x)=x^2e-x^2
H(x)=1/2*[F(x)-xe(-x^2)] alors H'(x)=F'(x)/2-(e-x^2-2x^2e-x^2)/2 or F'(x)=e-x^2
donc H'(x)=e-x^2/2 -e-x^2/2+2x^2e-x^2/2= x^2e-x^2=G'(x)
donc H'(x)=G'(x)
de plus G s'annule en 0 et H(0)=1/2(F(0)-0)=0 car F(0)=0 donc H s'annule aussi en 0 et donc G(x)=H(x) =1/2*[F(x)-xe(-x^2)].

5)a)Demontrer que la fonction G admet une limite en + infini que l'on precisera.
a)donc,la limite de G(x) en +infini est l/2.
b)Interpreter en termes d'aires le reel N= integrale de 0 a 1 de ((1-t^2)e(-t^2))
N correspond a l'aire'en unites d'aire, du domaine limite par la courbe Cf, la courbe Cg, et les droites x=0 et x=1.

c)En admettant que la limite de G en +infini represente l'aire P en unites dèaire du domaine D limite par la demi-droite (O;i) et la courbe Cg justifier graphiquement que:
integrale de 0 a 1 de ((1-t^2)e(-t^2))=>l/2
(on poura illustrer le raisonnement sur une figure).
je comprends pas vraiment cette inegalite
veuillez m'aider svp
merci beaucoup
xavier005
Utilisateur
 
Messages: 1
Inscription: Jeudi 02 Février 2006, 12:50

Publicité

Re: Etude de fonction

Messagepar sotwafits » Jeudi 02 Février 2006, 17:05

xavier005 a écrit:Bonjour, est ce que quelqun pourait me corriger et me donner un peu d'aide pour l'exercice suivant svp.

Bienvenu sur ce forum

Il est d'usage de donner son niveau quand on poste un exercice (mais vu l'énoncé, je suppose que tu es en terminale)

Autre remarque : ton énoncé n'est pas très lisible ! Il faudrait utiliser LaTeX pour que les formules mathématiques soient plus belles et la lecture plus facile
Par exemple, pour obtenir $e^{-x^2}$, écris
Code: Tout sélectionner
$e^{-x^2}$

D'autres renseignements ICI et ICI

Partie A
On considere les fonctions f et g definies sur R par:
f(x)=e(-x^2) et g(x)=x^2*e(-x^2)

On note respectivement Cf et Cg les courbes representatives de f et g dans un repere orthonormal (O,i,j), dont les traces sur trouvent normalement sur la feuille de mon exercice mais je n'ai pa pu les copier, dsl, mais il est facile de les representer sur une calculatrice.
1)Identifier Cf et Cg sur la feuille fournie.(Justifier la reponse)
On peut clairement identifier les deux courbes en posant:
f(0)=e(-0^2)=1
donc Cf est la courbe qui admet f(0)=1 , dont 1 est un maximum.

g(0)=0^2*e(-0^2)=0
donc Cg est la courbe qui admet g(0)=0

oui
2)Etudier la parite des fonctions f et g.
f(-x)=e(-(-x)^2)=e(-x^2)=f(x)
f(-x)=f(x) donc f est une fonction paire.

g(-x)=(-x)^2*e(-(-x)^2)=x^2*e(-x^2)=g(x)
g(-x)=g(x) donc g est une fonction paire.

oui
3) Etudier le sens de variation de f et de g.Etudier les limites de f et g en +infini.

f'(x)=-2x*e(-x^2)
Regardons ou f'(x) s'annule:
-2x*e(-x^2)=0
-2x=0 et e(-x^2)=0
x=0 pas de solution

Tu as la bonne réponse, mais c'est très mal rédigé (ou plutôt pas rédigé)
On peut rédiger ainsi :
$\begin{array}{rcl} f'(x)=0 & \Leftrightarrow & -2x e^{-x^2}=0\\ & \Leftrightarrow & -2x=0\mbox{ ou }e^{-x^2}=0\mbox{\qquad (OU, pas ET)}\\ & \Leftrightarrow & x=0 \mbox{ car }e^{-x^2}=0\mbox{ n'a pas de solution} \end{array}$
f est donc croissante sur ]-infini;0[ etr decroissante sur ]0;+infini[.

Insuffisant, tu n'as pas justifié le signe de $f'$ (on peut par exemple dire que $e^{-x^2}$ est toujours strictement positif, donc que $f'(x)$ est du signe contraire de $x$)

g'(x)=2x*e(-x^2)+x^2*-2x*e(-x^2)=2xe(-x^2)-2x^3e(-x^2)
=e(-x^2)*(2x-2x^3)
Regardons ou g'(x) s'annule:
g'(x)=0
e(-x^2)*(2x-2x^3)=0
e(-x^2)=0 et (2x-2x^3)=0
pas de solution x=-1 x=0 x=1
donc g est croissante sur ]-infini;-1[ et ]0;1[ et est decroissante sur ]-1;0[ et ]1;+infini[.

Idem, c'est mal rédigé et tu n'as pas justifié le signe de $g'$ (il faut factoriser $g'(x)$ et faire un tableau de signe)

-x^2 tend vers -infini en +infini , donc e(-x^2) tend vers 0 en +infini.
f tend vers 0 en +infini

comme e(-x^2) tend vers 0 en +infini , l'exponentielle l'emportant sur x^2, x^2*e(-x^2) tend aussi vers 0 en +infini.
g tend vers 0 en +infini.

C'est ça, mais pour la deuxième limite, ce n'est pas très rigoureux.
Il faut utiliser le résultat que tu as vu en cours et les opérations sur les limites (produit, composition)

4)Etudier la position relative de Cf et de Cg.
f(x)-g(x) = (1-x^2)*e(-x^2)
pour tout x de R, e(-x^2)>0
Donc f(x)-g(x) est du signe de (1-x^2)=(1-x)(1+x)
Donc Cf est au dessus de Cg sur ] -1 ; 1[ et en dessous sinon

oui

Partie B:
On considere la fonction G definie sur R par:
G(x)=primitive de 0 a x, de ( t^2*e(-t^2))dt

Intégrale tu voulais dire, je suppose ?

1) Que represente G pour la fonction g.
G est la primitive sur qui s'annule en 0 de la fonction g.

2)Donner pour x>0, une interpretation de G(x) en termes d'aires.G(x) correspond a l'aire de lacourbre delimite en tre 0 et x.

oui

3)Etudier le sens de variation de G sur R.
Pour tout x réel G'(x)=t^2*e(-t^2)>0, donc G est strictement croissante sur R.

Ceci n'a aucun sens car $G'(x)$ est une fonction de $x$ et pas de $t$

4)Demontrer,que,pour tout reel x,G(x)=1/2*[F(x)-xe(-x^2)]; (on pourra comencer par comparer les fonctions derivees de G et de x-->1/2*[F(x)-xe(-x^2)].

J'ai du rater quelque chose, car je ne vois pas la définition de $F$
sotwafits
Kilo-utilisateur
 
Messages: 199
Inscription: Jeudi 02 Juin 2005, 17:29


Retourner vers Exercices et problèmes : Lycée

 


  • Articles en relation
    Réponses
    Vus
    Dernier message

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum: Bing [Bot], Yahoo [Bot] et 9 invités