[TS] Etude de 1/x

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[TS] Etude de 1/x

Messagepar duncan333 » Dimanche 31 Octobre 2010, 16:26

Bonjour
Je me retrouve bloqué sur un exercice :
Le but de l'exercice est de montrer que l'équation (E) : e^(x) = 1/x , admet une unique solution dans l'ensemble R des nombres réels, et de construire une suite qui converge vers cette unique solution.
I : Existence et unicité de la solution
On note f la fonction définie sur R par : f(x) = x - e^(-x)

1 : Démontrer que x est solution de l'équation ( E ) si et seulement si f(x) = 0
2 : Étude du signe de la fonction f
(a) Étudier le sens de variation de la fonction f sur R
(b) En déduire que l'équation ( E) possède une unique solution sur R, notée a(alpha )
(c) Démontrer que a (alpha )appartient à l'intervalle [1/2, 1]
(d) Étudier le signe de f sur l'intervalle [0, a ]

II : Deuxième approche
On note g la fonction définie sur l'intervalle [0,1] par : g(x) = (1 + x)/(1 + e^(x))

1 : Démontrer que l'équation f(x) = 0 est l'équivalente à l'équation g(x) = x
2 : En déduire que a (alpha ) est l'unique réel vérifiant : g(a) = a (alpha )
3 : Calculer g'(x) et en déduire que la fonction g est croissante sur l'intervalle [0, a ]
Dernière édition par duncan333 le Dimanche 31 Octobre 2010, 20:00, édité 1 fois.
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Re: [TS] Etude de 1/x

Messagepar rebouxo » Dimanche 31 Octobre 2010, 16:38

$(E) = e^x$ n'est pas une équation.
Relire le texte.

Olivier
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Re: [TS] Etude de 1/x

Messagepar duncan333 » Dimanche 31 Octobre 2010, 16:43

(E) = e^x = 1/x
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Re: [TS] Etude de 1/x

Messagepar rebouxo » Dimanche 31 Octobre 2010, 16:47

duncan333 a écrit:(E) = e^x = 1/x


Ce n'est toujours pas une équation. Je suppose que ton texte écris $e^x = \dfrac{1}{x} \qquad (E)$ qui veut dire que l'on appelle $(E)$ l'équation $e^x = \dfrac{1}{x}$.

Bon qu'as tu essayé ? La première question ne doit pas résister très longtemps.

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Re: [TS] Etude de 1/x

Messagepar duncan333 » Dimanche 31 Octobre 2010, 16:50

J'ai essayé f(x) = 0 mais ça ne donne rien !
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Re: [TS] Etude de 1/x

Messagepar Mikelenain » Dimanche 31 Octobre 2010, 16:53

$f(x) = 0$
<=> $x - e^{-x} = 0$
<=> .... ?
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Re: [TS] Etude de 1/x

Messagepar duncan333 » Dimanche 31 Octobre 2010, 16:56

Je trouve x = e^x
Mais cela sert strictement à rien, pour ça que je dis que je suis bloqué, ce n'est pas le bon départ je pense car je ne vois pas sur quoi aboutir
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Re: [TS] Etude de 1/x

Messagepar Jean-charles » Dimanche 31 Octobre 2010, 17:29

duncan333 a écrit:Je trouve x = e^x

C'est plutôt $x=e^{-x}$ et $e^{-x}=\dfrac{1}{\ldots}$ ?
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Re: [TS] Etude de 1/x

Messagepar duncan333 » Dimanche 31 Octobre 2010, 17:33

Mon sujet est : Le but de l'exercie est de montrer que l'équation (E) : e^x = 1/x admet une solution unique dans l'ensemble R des nombres réels et de construire une suite qui converge vers cette solutions.....................
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Re: [TS] Etude de 1/x

Messagepar Mikelenain » Dimanche 31 Octobre 2010, 18:06

duncan333 a écrit:Je trouve x = e^x
Mais cela sert strictement à rien, pour ça que je dis que je suis bloqué, ce n'est pas le bon départ je pense car je ne vois pas sur quoi aboutir

Si seulement votre calcul était juste.
Voyez la réponse de Jean-Charles.
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Re: [TS] Etude de 1/x

Messagepar duncan333 » Dimanche 31 Octobre 2010, 18:15

oui exact jai oublié le moins mais sur ma feuille j'avais noté ça !
e(-x) = 1/e^x
Mais en quoi cela m'aide pour la question ?
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Re: [TS] Etude de 1/x

Messagepar Jean-charles » Dimanche 31 Octobre 2010, 18:48

duncan333 a écrit:e(-x) = 1/e^x

Oui donc à quoi ton équation de départ est-elle équivalente ? Puis regarde ce que l'on veut obtenir...
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Re: [TS] Etude de 1/x

Messagepar duncan333 » Dimanche 31 Octobre 2010, 18:55

On veut obtenir x solution de ( E)
Mon equation de départ f(x) = 0 est équivalente ) e(-x) = 1/e(x)

Je n'arrive vraiment pas à comprendre la logique de ce raisonnement j'ai l'impression d'etre stupide !
Dernière édition par duncan333 le Dimanche 31 Octobre 2010, 19:30, édité 1 fois.
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Re: [TS] Etude de 1/x

Messagepar Jean-charles » Dimanche 31 Octobre 2010, 19:25

duncan333 a écrit:Je n'arrive vraiment pas à comprendre la logique de ce raisonnement j'ai l'impression d'entre stupide !

Non mais fais un peu attention à ce que tu écris...
duncan333 a écrit:On veut obtenir x solution de ( E)
Mon equation de départ f(x) = 0 est équivalente ) e(-x) = 1/e(x)

Cette équivalence est fausse. Laquelle est la bonne ? Laquelle veut-on obtenir ?
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Re: [TS] Etude de 1/x

Messagepar duncan333 » Dimanche 31 Octobre 2010, 19:33

On veut que x est solution de (E) ssi f(x) = 0

f(x) =0
ssi x = 1/e(x)

donc x solution de (E) ssi x = 1/e(x)
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Re: [TS] Etude de 1/x

Messagepar François D. » Dimanche 31 Octobre 2010, 19:43

Je crains que tout cela ne soit en train de « partir en vrille » ... duncan333, peux-tu nous (re)donner l'énoncé exact (quitte à éditer ton premier message) ? Attention en particulier à ne pas mettre de signe = entre le nom d'une équation (qui peut s'appeler $(E)$ ou autrement) et son énoncé proprement dit (qui ressemble à $F(x)=\ldots$), sinon on ne sait même plus quelle est la question posée.
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Re: [TS] Etude de 1/x

Messagepar duncan333 » Dimanche 31 Octobre 2010, 20:00

J'ai noté le sujet en entier et comme sur le papier

Merci à tous !
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Re: [TS] Etude de 1/x

Messagepar Jean-charles » Dimanche 31 Octobre 2010, 20:13

duncan333 a écrit:On veut que x est solution de (E) ssi f(x) = 0

f(x) =0
ssi x = 1/e(x)

donc x solution de (E) ssi x = 1/e(x)


Bon et que veut on prouver ? Quelle équivalence ?
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Re: [TS] Etude de 1/x

Messagepar duncan333 » Dimanche 31 Octobre 2010, 20:15

Et bien : x solution de (E) ssi x = 1/e(x)
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Re: [TS] Etude de 1/x

Messagepar Jean-charles » Dimanche 31 Octobre 2010, 20:35

duncan333 a écrit:Et bien : x solution de (E) ssi x = 1/e(x)

Non, relis ton énoncé !
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