[Résolu][1ère S] Equation quatrième degré

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[Résolu][1ère S] Equation quatrième degré

Messagepar RichDeg » Mercredi 13 Octobre 2010, 13:14

Bonjour à tous !

Je me retrouve bloqué sur une question d'un exercice de DM (niveau Première S-SI) que voici :

Soit $(E)$ l'équation : $2x^4-9x^3+14x^2-9x+2=0$.

Etablir que $(E)$ équivaut à $(E') = 2(x^2+\dfrac{1}{x^2})-9(x+\dfrac{1}{x})+ 14 = 0$.

A cette heure, nous n'avons encore jamais eu affaire à un polynôme du quatrième degré, et n'ai pas la moindre idée de comment m'y prendre... :shock:

Merci d'avance !
Dernière édition par RichDeg le Mercredi 13 Octobre 2010, 16:16, édité 1 fois.
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Re: Equation quatrième degré

Messagepar balf » Mercredi 13 Octobre 2010, 13:20

Eh bien ... il s'agit seulement de constater une sorte de symétrie des coefficients : le coefficient de $x^k$ est égal à celui de $x^{4-k}$ pour $k=0,1,2,3,4$. Bref, on fait des regroupements par coefficients.

La suite consiste sans doute à exprimer le polynôme en fonction de la variable $u=x+\dfrac{1}{x}$ ?

B.A.
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Re: Equation quatrième degré

Messagepar kojak » Mercredi 13 Octobre 2010, 13:26

bonjour,

RichDeg a écrit:
Je me retrouve bloqué sur une question d'un exercice de DM (niveau Première S-SI) que ..


RichDeg a écrit:A cette heure, nous n'avons encore jamais eu affaire à un polynôme du quatrième degré, et n'ai pas la moindre idée de comment m'y prendre...

Faut pas être surpris mon petit :D

conseil : une petite réduction au même dénominateur dans ton équation $E'$ :wink:
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Re: Equation quatrième degré

Messagepar RichDeg » Mercredi 13 Octobre 2010, 14:50

balf a écrit:Eh bien ... il s'agit seulement de constater une sorte de symétrie des coefficients : le coefficient de $x^k$ est égal à celui de $x^{4-k}$ pour $k=0,1,2,3,4$. Bref, on fait des regroupements par coefficients.

La suite consiste sans doute à exprimer le polynôme en fonction de la variable $u=x+\dfrac{1}{x}$ ?

B.A.


Oui, j'ai ça après...

Je ne comprends pas ce que tu veux dire par "il s'agit seulement de constater une sorte de symétrie des coefficients"... Comment cette constatation peut mener le polynôme à la forme qu'on me demande de démontrer ?
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Re: Equation quatrième degré

Messagepar Mikelenain » Mercredi 13 Octobre 2010, 15:08

Ne remarques-tu pas que le coefficient devant $x^3$ est le même que devant $x^1$ par exemple ?
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Re: Equation quatrième degré

Messagepar jcs » Mercredi 13 Octobre 2010, 15:18

Bonjour
Après avoir montré que 0 ne peut être une solution de l'équation
vous pouvez mettre $x^2$ en facteur de tout
vous verrez sans doute apparaître une autre factorisation justement parce qu'il y a une symétrie des coefficients
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Re: Equation quatrième degré

Messagepar RichDeg » Mercredi 13 Octobre 2010, 15:20

Mikelenain a écrit:Ne remarques-tu pas que le coefficient devant $x^3$ est le même que devant $x^1$ par exemple ?


Si, mais je ne sais pas quoi faire de cette constatation... :?
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Re: Equation quatrième degré

Messagepar kojak » Mercredi 13 Octobre 2010, 15:44

RichDeg a écrit:
Mikelenain a écrit:Ne remarques-tu pas que le coefficient devant $x^3$ est le même que devant $x^1$ par exemple ?


Si, mais je ne sais pas quoi faire de cette constatation... :?


tu t'en moques de cette constatation : ce n'est pas le plus important.

Relis ce que t'a indiqué jcs.
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Re: Equation quatrième degré

Messagepar RichDeg » Mercredi 13 Octobre 2010, 15:58

Bon, voici ce que j'ai écrit jusqu'à présent :

$ \begin{array}{rl} 2x^4-9x^3+14x^2-9x+2 & \Leftrightarrow x^2(2x^2-9x+14-\dfrac{9}{x}+\dfrac{2}{x^2})=0\\  & \Leftrightarrow x^2[2(x^2+\dfrac{1}{x^2})-9(x+\dfrac{1}{x})+14]=0\\ \end{array} $

Comment éliminer le $x^2$ qui est en facteur ? :?:
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Re: Equation quatrième degré

Messagepar kojak » Mercredi 13 Octobre 2010, 16:06

tu as le droit de faire ceci pour quelle valeur de $x$ ?

RichDeg a écrit:Comment éliminer le $x^2$ qui est en facteur ? :?:
un produit est nul si et seulement si ...
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Re: Equation quatrième degré

Messagepar RichDeg » Mercredi 13 Octobre 2010, 16:16

Ah ben oui ! Vu mes performances en maths, je serai plus à mon aise en bac pro qu'en scientifique :lol:

Je vous remercie tous pour vos excellents conseils !
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