Equation du troisième degré

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Lycée.

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Equation du troisième degré

Messagepar Fox1994 » Mercredi 20 Octobre 2010, 14:56

Bonjour a tous , pour demain j'ai ce DM à rendre , j'ai bien avancé mais je suis bloqué à la question c) de la seconde partie

L'objectif de cet exercice est d'appliquer cette méthode à la résolution de l'équation:
$(E): x^3+3x^2+15x-99=0$

1. On se ramène à la résolution d'une équation du type : $X^3 + pX + q = 0$

a. Déterminer trois réels a, p et q tels que pour tout x, $x^3 + 3x^2 + 15 - 99 = (x + a)^3 + p(x+a) + q$

b.En posant X=x+a, vérifier que: $X^3 + 12X - 112 = 0$

2. On résout l'équation (E1): $X^3+12X-112=0$ pour cela, on pose $X=u+v.$

a) Vérifier que $(u+v)^3=u^3+v^3+3uv(u+v).$

b) En déduire que:
si X=u+v alors: $X^3+12X-112=u^3+v^3+(3uv+12)(u+v)-112.$
si $u^3+v^3=112$ , alors $u^3v^3=-64$ équivaut à X=u+v est une solution de l'équation (E1).

c) Montrer alors que s'il existe des nombres réels u et v vérifiant : $ (S)\; u^3+v^3=112$ et $u^3v^3=-64$. alors u+v est solution de E(1)

d) Résoudre ce système.
Posez $u^3 = U$ et $v^3 = V$

e) Verifier que $(2+2\sqrt2)^3 = 56+40\sqrt2$ et résoudre alors l'équation (E1)

f) Résoudre l'équation (E)


Je vous remercie d'avance , vous faites un super boulot !
Dernière édition par guiguiche le Mercredi 20 Octobre 2010, 16:19, édité 1 fois.
Raison: modification des erreurs
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Re: Equation du troisième degré

Messagepar jcs » Mercredi 20 Octobre 2010, 16:06

Bonjour
commençons par les erreurs de texte
Fox1994 a écrit:$x^2 + 3x^2 + 15 - 99 = (x + a)^3 + p(x+a) + q$

il faut bien sur lire $x^3$ le reste sans changement

Fox1994 a écrit:$X^2+12X-112=0$
là aussi lire $X^3$

l
Fox1994 a écrit:$ (S) u^3+v^3=112 et u^3v^3=-64$
manque deux balises $\$$
(S) $u^3+v^3=112$ et $ u^3v^3=-64$
Qu'est (S) ?
si vous posez U=u^3 et V=v^3 vous avez U+V=112 et UV=-64 ceci revient à trouver deux nombres dont on connait la somme et le produit
s'ils existent ils sont solutions de Z^2+112Z-64=0
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Re: Equation du troisième degré

Messagepar Fox1994 » Mercredi 20 Octobre 2010, 16:31

Déjà désolé pour les erreurs de texte que j'ai fais. Ensuite , merci de m'avoir répondu j'en suis a la d) maintenant grâce a vous ! Et il s'avère que je ne sais plus du tout comment fonctionne les systèmes...et les résoudre encore moins...
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Re: Equation du troisième degré

Messagepar jcs » Mercredi 20 Octobre 2010, 16:53

vous avez le système suivant à résoudre
$\begin{cases} U+V=112\\ UV=-64 \end{cases}$
les solutions de ce système sont les racines de $Z^2-112Z-64=0$
calcul de $\Delta$
les racines sont $z_1$ $z_2$
les solutions du système $ (z_1 ;z_2) (z_2,z_1)$
$z_1=u^3 \iff u=\sqrt[3]{z_1}$
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Re: Equation du troisième degré

Messagepar Fox1994 » Mercredi 20 Octobre 2010, 17:28

D'accord merci , est ce normal que je trouve des choses comme $ (-112 + \sqrt12288)/2$ et $ (-112 - \sqrt12288)/2$ en racine ??
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Re: Equation du troisième degré

Messagepar kojak » Mercredi 20 Octobre 2010, 17:34

Ton discriminant ne doit pas être bon. Et ensuite il faudra simplifier tes zolies expressions.

Indication : relis bien ta dernière question :wink:
pas d'aide par MP
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Re: Equation du troisième degré

Messagepar Fox1994 » Mercredi 20 Octobre 2010, 17:51

$b^2 - 4 ac$ ici $112^2 + 4*64$
Discriminant = 12800...
Bizarre ou juste ?
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Re: Equation du troisième degré

Messagepar kojak » Mercredi 20 Octobre 2010, 18:48

Fox1994 a écrit:Discriminant = 12800...
Bizarre ou juste ?
Pourquoi bizarre :?: tu sais, il n'existe pas que 1, 2 ou 3 comme nombres ainsi que leurs opposés :mrgreen:


Et donc ensuite poursuis ton calcul en simplifiant tes deux racines :wink:
pas d'aide par MP
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Re: Equation du troisième degré

Messagepar nikcos » Mercredi 08 Octobre 2014, 19:41

Autre méthode de résolution des équations du 3eme degré :
Resolving cubic equations by an homography (or Moebius transformation)
http://settheory.net/cubic-equations
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