[Terminal] Ensemble définition de fonction

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[Terminal] Ensemble définition de fonction

Messagepar Kazik » Vendredi 02 Décembre 2005, 19:02

Bonsoir,

j'ai un petit probleme sur l'ensemble de définition de la fonction suivante :
$f(x)\,=\,{\sqrt {x^3+ax^2+2 x+1} -b x \sqrt{x+2}$

a et b étant réels.

pouvez vous m'aidez ?
merci.
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Messagepar Nico » Vendredi 02 Décembre 2005, 19:18

il faut bosser sur l'intersection des ensembles des 2 "parties" de ta fonction: $\sqrt{x+2}$ dont l'ensemble de définition est facile à déterminer, puis l'autre. Tu dois étudier le signe de la fonction polynome $x^3+ax^2+2x+1$, en étudiant la fonction (dérivée, etc...).
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Messagepar Kazik » Vendredi 02 Décembre 2005, 19:31

Bonsoir,

pour la premiere sous la racine il faut que $x\ge -2$.
pour la seconde :
$P(x)=x^3+ax^2+2x+1$

donc :
$P'(x)=3x^2+2ax+2$

soit :
$\Delta=4a^2-24$

et ensuite ?
merci encore.
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Messagepar Mister Blague » Vendredi 02 Décembre 2005, 23:02

Bonsoir,

$\Delta=4a^2-24=4(a^2-6)$

Il faut distinguer trois cas suivant les valeurs de a

si $-\sqrt{6}<a<\sqrt{6}$ alors $\Delta<0$ et donc
$\forall x\in \mathbb R, P'(x)>0$
donc $P$ strictement croissante sur $[-2, +\infty[$.
$P(-2)=-11+4a<0$ car $a<\sqrt{6}$
$P$ s'annule en un seul réel $\alpha$
D'où l'ensemble de définition ...

si $a=-\sqrt{6}$ ou $a=+\sqrt{6}$ alors $P'$ positive sur $\mathbb R$ et s'annule en un seul réel donc $P$ est strictement croissante.
$P(-2)<0$ idem que dans le cas précédent

si $a>\sqrt{6}$ ou $a<-\sqrt{6}$ alors deux réels annulent $P'$
$\frac{-a-\sqrt{a^2-6}}{3}$ et $\frac{-a+\sqrt{a^2-6}}{3}$
il reste à situer ces racines par rapport à -2
et à en déduire les variations de $P$
Mister Blague
 

Messagepar Kazik » Dimanche 04 Décembre 2005, 15:51

Bonjour,

merci pour votre réponse mais je ne comprend pas comment dans le dernier cas placé $\frac{-a-\sqrt{a^2-6}}{3}$ et $\frac{-a+\sqrt{a^2-6}}{3}$ par rapport a -2 ?

pouvez vous m'aidez ?
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Messagepar nirosis » Dimanche 04 Décembre 2005, 19:37

Tu écris que ta racine est inférieur ou supérieur à -2.
$\frac{-a-\sqrt{a^2-6}}{3} \leq -2$.
Tu mets au carré en arrangeant comme il faut (met la racine seule d'un coté de l'inégalité) et en faisant attention au signe...
tu vas obtenir une relation sur a.
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Messagepar Kazik » Dimanche 04 Décembre 2005, 19:57

ah ok !

$\frac{-a-\sqrt{a^2-6}}{3} \leq -2$

Donc :
$(\frac{-a-\sqrt{a^2-6}}{3})^2 \leq 4$

Soit :
$\frac{2a\sqrt{a^2-6}}{9}+\frac{2a^2}{9}+4/3 \leq 0$

et comment terminer ?
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Messagepar nirosis » Dimanche 04 Décembre 2005, 20:23

Kazik a écrit:ah ok !

$\frac{-a-\sqrt{a^2-6}}{3} \leq -2$

Donc :
$(\frac{-a-\sqrt{a^2-6}}{3})^2 \leq 4$

Soit :
$\frac{2a\sqrt{a^2-6}}{9}+\frac{2a^2}{9}+4/3 \leq 0$

et comment terminer ?


Justement, $(\frac{-a-\sqrt{a^2-6}}{3})^2 \geq 4$, attention.

Mais écris plutôt : $(\frac{-\sqrt{a^2-6}}{3})^2 \geq (-2+a/3)^2$ ou $\leq (-2+a/3)^2$ suivant la valeur de $a$.

Ensuite, je pense que les termes en $a^2/9$ vont se simplifier et tu devrais pouvoir conclure, non ?
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Messagepar Kazik » Dimanche 04 Décembre 2005, 21:32

Je trouve :
$\frac{-a-\sqrt{a^2-6}}{3}\le -2\le \frac{-a+\sqrt{a^2-6}}{3}$ pour $a\in ]\frac{7}{2};+\infty[$

$-2\le \frac{-a-\sqrt{a^2-6}}{3}\le \frac{-a+\sqrt{a^2-6}}{3}$ pour $a\in ]-\infty;-\sqrt{6}[U]\sqrt{6};\frac{7}{2}[$

$-2=\frac{-a-\sqrt{a^2-6}}{3}\le \frac{-a+\sqrt{a^2-6}}{3}$ pour $a=\frac{7}{2}$

est-ce correct ?
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Messagepar nirosis » Dimanche 04 Décembre 2005, 22:45

Oui $7/2$ est bien la valeur qui apparaît.
Je pense que tu as compris le truc. J'ai pas vérifié exactement les calculs, mais ça a l'air bon.
Après tu peux toujours t'en convaincre en testant avec a=4 par exemple (et d'autres valeurs simples) pour vérifier.
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Messagepar Kazik » Lundi 05 Décembre 2005, 14:09

Merci.

Maintenant, sachant que $P(x)=x^3+ax^2+2x+1$, je cherche le signe de $P(\frac{-a+\sqrt{a^2-6}}{3})$ et $P(\frac{-a-\sqrt{a^2-6}}{3})$

selon que $a\in[7/2,+\infty[$ ou $a\in]-\infty,-\sqrt{6}[U]\sqrt{6},7/2]$
comment faire ?
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Messagepar Kazik » Lundi 05 Décembre 2005, 18:48

En faite je ne comprend pas votre réponse :

Mais écris plutôt : $(\frac{-\sqrt{a^2-6}}{3})^2 \geq (-2+a/3)^2 ou \leq (-2+a/3)^2$ suivant la valeur de a.

pouvez vous m'expliquez ?
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Messagepar nirosis » Lundi 05 Décembre 2005, 19:15

Je t'ai dit ça pour que quand tu élèves au carré, il n'y ait plus de racine carré. C'était juste une "astuce" pour que ton calcul aboutisse simplement.

Pour la suite, par un changement de variable linéaire, tu peux te ramener à la forme normalisée, càd $x^3+p*x+q$. Après regarde avec les formules de Cardan peut-être...

Voir ici

Mais à mon avis, vu que c'est pour Terminale, c'est plus simple. Alors peut-être qu'il faut tout simplement remplacer la valeur de $x$ et développer le calcul... Essaie.
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Messagepar Kazik » Lundi 05 Décembre 2005, 19:26

nirosis a écrit:Je t'ai dit ça pour que quand tu élèves au carré, il n'y ait plus de racine carré. C'était juste une "astuce" pour que ton calcul aboutisse simplement.

Pour la suite, par un changement de variable linéaire, tu peux te ramener à la forme normalisée, càd $x^3+p*x+q$. Après regarde avec les formules de Cardan peut-être...

Voir ici

Mais à mon avis, vu que c'est pour Terminale, c'est plus simple. Alors peut-être qu'il faut tout simplement remplacer la valeur de $x$ et développer le calcul... Essaie.


Je ne comprend pas le sens de l'inéquation ...

La forme normalisé ?
Pouvez vous me faire un exemple que je voye ?
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