Domaine de définition d'une fonction composée

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Domaine de définition d'une fonction composée

Messagepar palastr13 » Jeudi 01 Octobre 2009, 17:28

Bonjour,

J'ai un petit problème au sujet du domaine de définition d'une fonction composée de deux fonctions.
Voilà, je dois déterminer l'ensemble de définition de la fonction u[v(x)] avec $ u(x)= \dfrac{1}{x}$ et $v(x)=\dfrac{1}{x+1}$
Voici ma méthode, merci de la rectifier si elle n'est pas bonne ou si j'ai fait une erreur de calcul ! :wink:

u[v(x)] est définie lorsque v(x)>0 et v(x)<0
D'abord $\dfrac{1}{x+1}$>0
$\Rightarrow$x+1<0
$\Rightarrow$x<-1
Ensuite $\dfrac{1}{x+1}$<0
$\Rightarrow$x+1>0
$\Rightarrow$x>-1
Donc l'ensemble de définition de la fonction u[v(x)] est d'après mes calculs ]-$\infty$;-1[U]-1;+$\infty$[

Ce que je ne comprend pas c'est que si je donne la formule de la fonction u[v(x)], je trouve u[v(x)]=$\dfrac{1}{1/(x+1)}$ ce qui est égal à u[v(x)]=x+1. Or le domaine de définition de la fonction affine u[v(x)] doit être $\R$.

Qu'est ce qui ne va pas dans tout ça ? Merci de m'éclairer ! :)
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Re: Domaine de définition d'une fonction composée

Messagepar kojak » Jeudi 01 Octobre 2009, 17:33

bonjour,
palastr13 a écrit:u[v(x)] est définie lorsque v(x)>0 et v(x)<0
ça n'irait pas plus vite d'écrire $v(x)\neq 0$ :wink: sans oublier avant le domaine de définition de ta fonction $v$.
palastr13 a écrit:$\Rightarrow$x<-1
..
$\Rightarrow$x>-1
Oui
palastr13 a écrit:Donc l'ensemble de définition de la fonction u[v(x)] est d'après mes calculs ]-$\infty$;0[U]0;+$\infty$
ben il est passé où le $-1$ ?

palastr13 a écrit:Ce que je ne comprend pas c'est que si je donne la formule de la fonction u[v(x)], je trouve u[v(x)]=$\dfrac{1}{1/(x+1)}$ ce qui est égal à u[v(x)]=x+1.
Oui c'est ça.
palastr13 a écrit: Or le domaine de définition de la fonction affine u[v(x)] doit être $\R$.
Oui aussi. Mais tu obtiens ceci sans passer par des fonctions composées ce qui n'est pas le cas ici. ce que tu as fait est correct, sauf la petite erreur de recopie dans le domaine de définition.

PS : tu mets une balise (le dollar) tout au début et tout à la fin de ta formule :wink:
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Re: Domaine de définition d'une fonction composée

Messagepar palastr13 » Jeudi 01 Octobre 2009, 17:41

Merci beaucoup Kojak ! :)
J'ai rectifier mon erreur dans le domaine de définition de $u[v(x)]$.
A quoi ça sert de mettre le domaine de définition de la fonction $v$ ?

Merci encore.
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Re: Domaine de définition d'une fonction composée

Messagepar kojak » Jeudi 01 Octobre 2009, 17:43

palastr13 a écrit:A quoi ça sert de mettre le domaine de définition de la fonction $v$ ?

Ben avant de faire quoi que ce soit, comme tu commences par la fonction $v$ quand tu fais $u\circ v$ , faut bien déterminer son domaine de définition.. sinon tu ne sais pas pour quelles valeurs de $x$ ça existe
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Re: Domaine de définition d'une fonction composée

Messagepar palastr13 » Jeudi 01 Octobre 2009, 17:46

D'accord ! :mrgreen:
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Re: Domaine de définition d'une fonction composée

Messagepar Tonn83 » Jeudi 01 Octobre 2009, 22:49

palastr13 a écrit:D'abord $\dfrac{1}{x+1}$>0
$\Rightarrow$x+1<0
$\Rightarrow$x<-1

'''Non''' $\frac{1}{x+1}>0$ ssi $x+1>0$. Par ailleurs, dans ton raisonnement, tu as oublié de mentionner quand v(x) est bien défini (ce qui ne change pas le résultat).

La composition de la fonction u par la fonction v est définie sur les intervalles $(-\infty,0)$ et $(0,\infty)$ et est la restriction de la fonction $x\mapsto x+1$.

Bien évidemment, tu as parfaitement compris que déterminer le domaine de définition n'est pas utile ici ! Il s'agit juste d'un exercice et le seul objectif est que tu montres que tu assimilé le cours. En particulier, $u$ et $v$ sont des fractions rationnelles. Tu peux trouver facilement l'expression de la composée $F\circ G$ de deux fractions rationnelles, mais la formule te définira une fonction définie et continue sur un domaine en général plus grand que celui où la composition est définie.
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Re: Domaine de définition d'une fonction composée

Messagepar GMaths » Vendredi 02 Octobre 2009, 00:25

En spéculant sur le fait qu'il s'agissait d'un simple exercice à faire pour demain
et qu'à cette heure, ce ne sera lu qu'après la correction en classe,
en espérant qu'il ne s'agissait pas d'une question relative à un DM à rendre plus tard,
je prends le risque, exceptionnellement, de rédiger une réponse complète pour montrer une rédaction plus rigoureuse de ce genre de question :

$u:x\mapsto \dfrac{1}{x}$ définie sur $D_u=\R^{*}$
$v:x\mapsto \dfrac{1}{x+1}$ définie sur $D_v=\R\backslash\{-1\}$
Par conséquent :

$$x\in D_{u\circ v}$$


si, et seulement si

$$x\in D_v \qquad\text{et}\qquad v(x)\in D_u$$


si, et seulement si

$$x\neq -1 \qquad\text{et}\qquad \dfrac{1}{1+x}\neq 0$$


si, et seulement si

$$x\neq -1$$



donc le domaine de définition de $u\circ v$ est

$$D_{u\circ v}=D_v=\R\backslash\{-1\}$$



et pour tout réel $x$ de $D_{u\circ v}$, on a :

$$u\circ v(x)=u[v(x)]=\dfrac{1}{v(x)}=x+1$$



Et comme cela a été dit, $u\circ v$ est la restriction de la fonction affine $x\mapsto x+1$ à $\R\backslash\{-1\}$

qui est donc représentée par la droite d'équation $y=x+1$ privée du point de coordonnées $(-1;0)$.
Dernière édition par GMaths le Vendredi 02 Octobre 2009, 11:30, édité 1 fois.
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Re: Domaine de définition d'une fonction composée

Messagepar GMaths » Vendredi 02 Octobre 2009, 00:40

Tonn83 a écrit:Bien évidemment, tu as parfaitement compris que déterminer le domaine de définition n'est pas utile ici !


Que l'on parle de celui de $u$, de $v$ ou de $u\circ v$... bien sûr qu'il est utile et même nécessaire d'évoquer le domaine de définition d'une fonction, et ceci avant d'écrire l'expression de la fonction !
L'exemple en question présente justement l'intérêt de montrer que l'on ne peut pas se contenter d'en arriver à $u\circ v(x)=x+1$, sans avoir préalablement montré que $x\neq -1$, sous peine de croire que c'est une fonction affine définie sur $\R$.
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Re: Domaine de définition d'une fonction composée

Messagepar kojak » Vendredi 02 Octobre 2009, 06:44

Tonn83 a écrit:
palastr13 a écrit:D'abord $\dfrac{1}{x+1}$>0
$\Rightarrow$x+1<0
$\Rightarrow$x<-1

'''Non''' $\frac{1}{x+1}>0$ ssi $x+1>0$.

Oups : j'ai laissé passer ça. Mea culpa : j'ai lu trop vite :wink:
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Re: Domaine de définition d'une fonction composée

Messagepar guiguiche » Vendredi 02 Octobre 2009, 08:03

GMaths a écrit:

$$x\in D_{u\circ v}$$


si, et seulement si

$$x\in D_v \qquad\text{et}\qquad u(x)\in D_u$$


si, et seulement si

$$x\neq -1 \qquad\text{et}\qquad \dfrac{1}{x}\neq 0$$


Il y a une petite coquille en ligne 2 et en ligne 3, non ?
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
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Re: Domaine de définition d'une fonction composée

Messagepar GMaths » Vendredi 02 Octobre 2009, 11:33

guiguiche a écrit:Il y a une petite coquille en ligne 2 et en ligne 3, non ?
oui, bien sûr.
Je me suis trompé à la ligne 2 (en tapant u au lieu de v) et je suis resté cohérent dans mon erreur à la 3.
C'est rectifié.

à 1h25... je n'étais plus au sommet de ma forme. :mrgreen:
d'ailleurs à 1h30, je dormais. :lol:
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Re: Domaine de définition d'une fonction composée

Messagepar palastr13 » Vendredi 02 Octobre 2009, 18:41

Merci beaucoup à vous tous pour vos réponses et vos corrections de mes erreurs ! :D

En spéculant sur le fait qu'il s'agissait d'un simple exercice à faire pour demain
et qu'à cette heure, ce ne sera lu qu'après la correction en classe,
en espérant qu'il ne s'agissait pas d'une question relative à un DM à rendre plus tard,
je prends le risque, exceptionnellement, de rédiger une réponse complète pour montrer une rédaction plus rigoureuse de ce genre de question :


Bonne spéculation ! ;) C'était un exercice fait en classe !
Merci aussi pour la méthode ! Donc pour la fonction composée $u[v(x)]$ avec $v(x)=x+2$ et $u(x)=$ $\sqrt{x}$ je dois procéder aussi comme ça ?
Le problème est que $x+2$ est définie sur $\R$ donc pour passer de la ligne 2 à la ligne 3 je vois pas comment faire sans résoudre des inéquations.

A+
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Re: Domaine de définition d'une fonction composée

Messagepar kojak » Vendredi 02 Octobre 2009, 18:55

palastr13 a écrit:Le problème est que $x+2$ est définie sur $\R$ donc pour passer de la ligne 2 à la ligne 3 je vois pas comment faire sans résoudre des inéquations.

Ben oui, tu n'as pas le choix :D

PS : moi je préfère mettre des $x$ et des $X$ pour ne pas confondre.
Tu as $v(x)=x+2$ et $u(X)=\sqrt{X}$ et donc il te faut aussi le domaine de définition de la fonction ... ?
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Re: Domaine de définition d'une fonction composée

Messagepar palastr13 » Vendredi 02 Octobre 2009, 19:45

Ok j'ai compris ! :)
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Re: Domaine de définition d'une fonction composée

Messagepar Tonn83 » Vendredi 02 Octobre 2009, 23:24

GMaths a écrit:
Tonn83 a écrit:Bien évidemment, tu as parfaitement compris que déterminer le domaine de définition n'est pas utile ici !
Que l'on parle de celui de $u$, de $v$ ou de $u\circ v$... bien sûr qu'il est utile et même nécessaire d'évoquer le domaine de définition d'une fonction, et ceci avant d'écrire l'expression de la fonction !
L'exemple en question présente justement l'intérêt de montrer que l'on ne peut pas se contenter d'en arriver à $u\circ v(x)=x+1$, sans avoir préalablement montré que $x\neq -1$, sous peine de croire que c'est une fonction affine définie sur $\R$.


NON

Comment composes-tu les deux fonctions rationnelles
$P(X)=\frac{2X+1}{X^6+7X^3+12X^2-9X+8}$ et $Q(X)=\frac{5X^2+1}{X^3+2X+1}$ ?

J'espère que les internautes ne se lanceront pas aveuglément dans la recherche les pôles de ces fractions rationnelles. Ici, il est impossible de déterminer les domaines de définition. Fort heureusement, ce n'est pas utile : il n'est pas difficile de calculer $P\circ Q(X)$, on obtient une fraction rationnelle, définie en dehors de ses poles. (Pour éviter les erreurs de calcul, je conseille fortement l'utilisation d'un ordinateur.) Pour moi, la composée $u\circ v$ est une fonction affine, et elle est bien définie sur R. Je rappelle à GMaths que tous les polynômes sont définis sur R et que deux fonctions polynômiales égales au voisinage d'un point x sont égales partout. S'il fallait s'interdire de calculer les composées des fonctions dont on ne connait pas les domaines, on n'aurait jamais rien fait en sciences. De même, il ne faut pas s'interdire de prolonger par continuité une fonction en les points où elle n'est pas a priori définie.

Bien évidemment que dans d'autres contextes, cela peut être crucial de justifier qu'une fonction est bien définie au voisinage d'un point, mais pas ici !!! C'est un exercice purement scolaire, et très mal choisi. :D :wink:
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Re: Domaine de définition d'une fonction composée

Messagepar GMaths » Samedi 03 Octobre 2009, 07:33

Tonn83 a écrit:Pour moi, la composée $u\circ v$ est une fonction affine, et elle est bien définie sur R.

:shock: :shock: :shock:

Mais tu ne peux arriver à l'expression $x+1$ qu'en supposant x différent de -1 !!!!!!!
L'expression de $u\circ v$ est $u\circ v(x)=\dfrac{1}{\frac{1}{x+1}}$.
J'espère que tu vois qu'elle n'est pas définie sur $\R$ et que tu peux écrire $u\circ v(x)=x+1$ que sur $\R\backslash\{-1\}$.

Essaie dans ta calculatrice de dresser les tableaux de valeurs de
Y1=1/X
Y2=1/(X+1)
Y3=Y1(Y2(X))
et tu constateras qu'elle "sait", elle, que $u\circ v$ est définie sur $\R\backslash\{-1\}$.

$u\circ v(-1)=u[v(-1)]$ impossible, car v(-1) n'a pas de sens !

Autre exemple :
Ne me dis pas qu'avec les fonctions $u:x\mapsto x^2$ et $v:x\mapsto \sqrt{x-3}$, tu penses que l'on écrit $u\circ v(x)=\left(\sqrt{x-3}\right)^2=x-3$, pour en déduire que $u\circ v$ est une fonction affine définie sur $\R$. Rassure moi : tu sais que $u\circ v$ est une fonction définie sur $[3;+\infty[$ ?

S'il fallait s'interdire de calculer les composées des fonctions dont on ne connait pas les domaines, on n'aurait jamais rien fait en sciences.


Elle est là l'explication : tu confonds le mathématicien et le scientifique qui utilise les maths.
On peut être tour à tour les deux...
... mais face à une classe, tu es le prof de maths qui demande de la rigueur mathématique
ou tu es un prof d'une autre science pour lequel les mathématiques ne sont qu'une truelle (avec laquelle on prend un peu de liberté car le centre d'intérêt est ailleurs).
Préconiser à un lycéen, dans le cadre d'un cours de maths, de définir une fonction sans se préoccuper de son domaine de définition... cela me semble extrêmement déraisonnable.

De même, il ne faut pas s'interdire de prolonger par continuité une fonction en les points où elle n'est pas a priori définie.


Prolonger par continuité, c'est définir une nouvelle fonction !
On demandait de définir $u\circ v$ et non la fonction qui la prolonge par continuité en -1.
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Re: Domaine de définition d'une fonction composée

Messagepar guiguiche » Samedi 03 Octobre 2009, 08:30

+1 avec GMaths
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Re: Domaine de définition d'une fonction composée

Messagepar kojak » Samedi 03 Octobre 2009, 10:52

+1 aussi avec GMaths :wink:

Tonn83 a écrit:C'est un exercice purement scolaire, et très mal choisi
il est purement scolaire je suis bien d'accord mais pas pour la suite. Cet exo est justement là pour faire comprendre aux élèves la nécessité d'étudier successivement les domaines de définition des différentes fonctions entrant dans la composée :D

D'ailleurs, as tu déjà enseigné à des lycéens ou pas ?
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Re: Domaine de définition d'une fonction composée

Messagepar Tonn83 » Samedi 03 Octobre 2009, 11:16

GMaths a écrit:Mais tu ne peux arriver à l'expression $x+1$ qu'en supposant x différent de -1 !!!!!!!
L'expression de $u\circ v$ est $u\circ v(x)=\dfrac{1}{\frac{1}{x+1}}$.


Dans l'algèbre des fractions rationnelles réelles, le calcul $\frac{1}{\frac{1}{X+1}}=X+1$ est valable, et pas la peine de connaitre les poles de la fracton rationnelle avant d'effectuer ce calcul. En général, il est impossible de déterminer les poles d'une fraction rationnelle, j'espère que tu en es convaincu. Par ailleurs, je ne possède aucune calculatrice, mais des logiciels de calcul peuvent effectuer la composition de fractions rationnelles sans rechercher a priori les poles :D C'est d'ailleurs ainsi que tout le monde procède. Ce premier exemple ne montre pas l'importance réelle que peut jouer la détermination du domaine de définition.

Autre exemple :
Ne me dis pas qu'avec les fonctions $u:x\mapsto x^2$ et $v:x\mapsto \sqrt{x-3}$, tu penses que l'on écrit $u\circ v(x)=\left(\sqrt{x-3}\right)^2=x-3$, pour en déduire que $u\circ v$ est une fonction affine définie sur $\R$. Rassure moi : tu sais que $u\circ v$ est une fonction définie sur $[3;+\infty[$ ?


Le calcul que tu as effectué est valable pour x>3, mais la fonction obtenue est un polynôme, elle est définie sur R. Comme tu le sais, si un polynome de degré $n$ a $n+1$ racines distinctes, alors le polynome est nul. En particulier, un polynome de degré n est déterminé par les valeurs prises en n+1 points distincts. D'après ton calcul, $u\circ v$ est une fonction polynômiale sur $(3,\infty)$ et donc est naturellement définie sur R. Cela reste valable pour les fractions rationnelles.

Elle est là l'explication : tu confonds le mathématicien et le scientifique qui utilise les maths.
On peut être tour à tour les deux...
... mais face à une classe, tu es le prof de maths qui demande de la rigueur mathématique
ou tu es un prof d'une autre science pour lequel les mathématiques ne sont qu'une truelle (avec laquelle on prend un peu de liberté car le centre d'intérêt est ailleurs).


Erreur. Je fais de la recherche en mathématiques pures. Ce que je voulais dire : avec les interdits que tu imposes, on n'aurait jamais avancé en mathématiques ! En particulier, mes propos ci-dessus sur les polynomes sont un cas particulier du théorème des zéros isolés en analyse complexe. Sans rentrer dans les détails, hors de propos ici, ces résultats autorisent pour certaines classes de fonction (comprenant les fractions rationnelles) de les prolonger de manière naturelle et unique au delà du domaine où elles étaient a priori définies. Ce point joue un role central dans les applications possibles de l'analyse complexe, comme par exemple en arithmétique. En géométrie complexe, il arrive souvent que toutes les fonctions f de cette classe définies sur un domaine U soient automatiquement prolongeables à un domaine strictement plus grand U' indépendant de f (phénomène de Hartogs).


Néanmoins, voici un problème qui montre l'importance en pratique de déterminer le domaine de définition d'une fonction. Soit I un intervalle ouvert contenant 0 et $f:I\rightarrow R$ une fonction partout dérivable vérifiant
$f^\prime+f^2=0$

1) Démontrer que f estde classe $C^{\infty}$.
2) Soit x un point de I tel que $f(x)\neq 0$. Démontrer l'existence d'un intervalle J contenu dans I sur lequel f ne s'annule pas.
3) Sur cet intervalle J, on pose $g(x)=1/f(x)$. Justifier l'existence de $g'(x)$. En déduire une expression de $g(x)$.
4) Si $f(x)\neq 0$, vérifier que $x-\frac{1}{f(x)}$ n'appartient pas à $I$. Trouver une expression de $f$.
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Re: Domaine de définition d'une fonction composée

Messagepar kojak » Samedi 03 Octobre 2009, 12:55

Tonn83 a écrit:Erreur. Je fais de la recherche en mathématiques pures. Ce que je voulais dire : avec les interdits que tu imposes, on n'aurait jamais avancé en mathématiques !


Et bien il est là le problème. En première, les élèves sont encore bien loin de tout ça. On essaie de mettre en place, non sans mal, un certain nombre de bases, comme dans ce sujet, les problèmes de domaine de définition. Plus tard, quand ils auront grandi et auront suffisamment de recul, ils pourront, peut être, se permettre certains oublis et/ou omissions plus ou moins volontaires, impensables en classe de première. :wink:
pas d'aide par MP
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