DM de maths dérivation

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DM de maths dérivation

Messagepar g_D » Jeudi 08 Novembre 2012, 10:28

Bonjour tout le monde,
J'ai un DM de maths sur la dérivation et je suis bloquée pour un exercice. J'arrive à faire la question 1 et la question 2, mais pas la 3. Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ? Merci d'avance !!!
Voici le sujet :

On considère la fonction $f$ définie sur $]-1 ; +\infty[$ par f(x) = (x/x+1)^3.

1) Calculer les limites de $f$ en $-1$ et en + l'infini.
2) Etudier les variations de $f$. Dresser le tableau des variations de $f$.

3) On appelle $C_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère du plan.
Existe-t-il des points de $C_f$ en lesquels la tangente passe par l'origine du repère ?
Si oui, préciser l'abscisse de chacun d'eux et donner l'équation réduite de la tangente associée.
Dernière édition par g_D le Jeudi 08 Novembre 2012, 19:29, édité 3 fois.
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Re: DM de maths dérivation

Messagepar rebouxo » Jeudi 08 Novembre 2012, 11:25

Donnes-nous rapidement les limites en $-1$ et $\infty$.

Pour la question 2 : que veux dire étudier la fonction ?
Pour la question 3 : As-tu tracé la courbe (éventuellement en utilisant GeoGebra).
Quel est le lien entre tangente et dérivée ? Lorsqu'une droite passe par l'origine du repère qu'elle est la forme de son équation ?

Olivier
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Re: DM de maths dérivation

Messagepar g_D » Jeudi 08 Novembre 2012, 19:36

J'ai limite en -1 : moins l'infini et limite en + l'infini : 1
Question 2 : étudier la fonction : j'ai trouvé qu'elle était croissante sur son intervalle de définition et qu'elle s'annulait en 0. Valeur interdite en -1.
Question 3 : j'ai tracé la courbe.
Le lien entre tangente et dérivée : je sais que l'équation de la tangente en un point a est Ta : y = f'(a)(x-a)+f(a) et que f'(a) est le coefficient directeur de la tangente.
Lorsqu'une droite passe pars l'origine du repère, elle a une équation du type y=ax.
Je ne vois pas comment lier tout ça, même si je suis sûre qu'il y a un rapport entre tout ça ! :D
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Re: DM de maths dérivation

Messagepar kojak » Jeudi 08 Novembre 2012, 20:25

Bonjour,

g_D a écrit:J'ai limite en -1 : moins l'infini et limite en + l'infini : 1
Question 2 : étudier la fonction : j'ai trouvé qu'elle était croissante sur son intervalle de définition et qu'elle s'annulait en 0. Valeur interdite en -1.
OK

g_D a écrit:Le lien entre tangente et dérivée : je sais que l'équation de la tangente en un point a est Ta : y = f'(a)(x-a)+f(a) et que f'(a) est le coefficient directeur de la tangente.
OK

g_D a écrit:Lorsqu'une droite passe pars l'origine du repère, elle a une équation du type y=ax

OK
g_D a écrit:Je ne vois pas comment lier tout ça, même si je suis sûre qu'il y a un rapport entre tout ça ! :D
ben pour avoir ces 2 formes identiques, que dois-tu avoir comme équation ?

PS : peut être transformer ton équation de tangente en une forme un peu plus développée :wink:
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Re: DM de maths dérivation

Messagepar g_D » Vendredi 09 Novembre 2012, 12:34

D'accord, alors, si j'ai bien compris, j'ai fait ça :

On sait que T : y = f'(a)(x-a)+f(a)
Après avoir remplacé, développé et réduit, j'ai : T:y = (3a²/(a+1)^4)x - [(4a^3 +a+1) / (a+1)^9 ]. (Dans l'expression de f'(x), j'ai remplacé x par a. Dans l'expression de f(x), j'ai remplacé x par a).
Or, si T passe par l'origine du repère, alors x=0 et y=0.
D'où T : -[4a^3 +a+1 / (a+1)^9 ] =0
On résout donc l'équation : 4a^3 +a+1 = 0.

Est-ce bien cela qu'il fallait faire ?
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Re: DM de maths dérivation

Messagepar kojak » Vendredi 09 Novembre 2012, 13:08

g_D a écrit:Après avoir remplacé, développé et réduit, j'ai : $y = (3a^2/(a+1)^4)$
OK


g_D a écrit:$- [(4a^3 +a+1) / (a+1)^9 ]$
Faux. J'aimerais bien savoir d'où sort ce $(a+1)^9$ ? Ensuite, avant de développer, il faut penser à factoriser. :wink:

g_D a écrit:$  -[4a^3 +a+1 / (a+1)^9 ] =0$
c'est le principe, sauf que là, tu as fait une erreur de mise au même dénominateur, etc.
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Re: DM de maths dérivation

Messagepar rebouxo » Vendredi 09 Novembre 2012, 15:53

Tu arrives à relire Kojak, moi franchement c'est illisible. Il peut pas faire un effort et mettre des dollars en début de formule et \dfrac{}{} de temps en temps, histoire de rendre la vie plus facile ?

Olivier
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Re: DM de maths dérivation

Messagepar g_D » Vendredi 09 Novembre 2012, 16:13

Oui, ça va merci :). J'ai effectivement fait une faute, c'est $T:y =\dfrac{3a^2x}{(a+1)^4} -\dfrac{(4a^3+a+1)}{(a+1)^4} $ ?
Mais comment résoudre cette équation : $4a^3 + a+1 = 0$ ? Je n'ai jamais vu cette forme !
Dernière édition par g_D le Vendredi 09 Novembre 2012, 17:12, édité 1 fois.
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Re: DM de maths dérivation

Messagepar kojak » Vendredi 09 Novembre 2012, 16:27

g_D a écrit:Mais comment résoudre cette équation : $4a^3 + a+1 = 0$ ? !
Ceci est faux. Erreur de calcul. Comment obtiens tu ceci ? Quel calcul as-tu fait ? Peux tu les détailler ici ?
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Re: DM de maths dérivation

Messagepar g_D » Vendredi 09 Novembre 2012, 17:16

Si je continue ce que j'ai mis avant pour l'équation de la tangente :
Or si T passe par l'origine du repère, alors $x=0$ et $y=0$
D'où T a pour équation $-\dfrac{4a^3+a+1}{(a+1)^4}=0$
Pour trouver a, on résout l'équation : $-\dfrac{4a^3+a+1}{(a+1)^4}=0$
D'où $-(4a^3+a+1)=0$
$4a^3+a+1=0$
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Re: DM de maths dérivation

Messagepar kojak » Vendredi 09 Novembre 2012, 17:27

g_D a écrit: c'est $T:y =\dfrac{3a^2x}{(a+1)^4} -\dfrac{(4a^3+a+1)}{(a+1)^4} $ ?

Le coeff directeur est OK mais pas l'ordonnée à l'origine. Tu as fait une erreur de calcul dans un coin, mais comme tu ne postes pas les détails, je ne peux savoir d'où ça vient.
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Re: DM de maths dérivation

Messagepar g_D » Vendredi 09 Novembre 2012, 17:28

Pardon, je n'ai pas mis tout le détail, mais je crois que j'ai trouvé la faute. Le coefficient directeur est $-\dfrac{4a^3+a^4}{(a+1)^4}$ ?
Dernière édition par g_D le Vendredi 09 Novembre 2012, 17:43, édité 1 fois.
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Re: DM de maths dérivation

Messagepar kojak » Vendredi 09 Novembre 2012, 17:31

Pour trouver ton expression comme ordonnée à l'origine, tu as bien fait un calcul. Ça ne sort pas tout seul, non ?
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Re: DM de maths dérivation

Messagepar g_D » Vendredi 09 Novembre 2012, 17:46

Pardon, je n'ai pas mis tout le détail, mais je crois que j'ai trouvé la faute. Le coefficient directeur est $-\dfrac{4a^3+a^4}{(a+1)^4}$ ?
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Re: DM de maths dérivation

Messagepar kojak » Vendredi 09 Novembre 2012, 20:12

g_D a écrit: Le coefficient directeur est $-\dfrac{4a^3+a^4}{(a+1)^4}$ ?
Non, ce n'est toujours pas bon. De plus, ce n'est pas le oeff directeur mais l'ordonnée à l'origine.

Peux tu dire quel calcul tu fais au départ ?

PS : c'est un pb de signe dans ton calcul.
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Re: DM de maths dérivation

Messagepar g_D » Vendredi 09 Novembre 2012, 20:39

Je mets le détail, ce sera plus simple :

$T:y = f'(a)(x-a)+f(a)$

$T:y= (x-a)\times\dfrac{3a^2}{(a+1)^4} + (\dfrac{a}{a+1})^3$

$T:y= \dfrac{3a^2x}{(a+1)^4} - \dfrac{3a^3}{(a+1)^4} + \dfrac{a^3}{(a+1)^3}$

$T:y= \dfrac{3a^2x}{(a+1)^4} - \dfrac{3a^3(a+1)^3 + a^3(a+1)^4}{(a+1)^7}$

$T:y= \dfrac{3a^2x}{(a+1)^4} - \dfrac{((a+1)^3)(3a^3 + a^3(a+1)}{(a+1)^7}$

$T:y= \dfrac{3a^2x}{(a+1)^4} - \dfrac{3a^3 +a^4 + a^3}{(a+1)^4}$

$T:y= \dfrac{3a^2x}{(a+1)^4} - \dfrac{4a^3+a^4}{(a+1)^4}$
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Re: DM de maths dérivation

Messagepar kojak » Vendredi 09 Novembre 2012, 20:44

g_D a écrit:$T:y= \dfrac{3a^2x}{(a+1)^4} - \dfrac{3a^3}{(a+1)^4} + \dfrac{a^3}{(a+1)^3}$
OK.

L'erreur est juste à la ligne d'après : c'est bien un pb de signe, comme je le pensais :

g_D a écrit:$T:y= \dfrac{3a^2x}{(a+1)^4} - \dfrac{3a^3(a+1)^3 + a^3(a+1)^4}{(a+1)^7}$


g_D a écrit:$T:y= \dfrac{3a^2x}{(a+1)^4} - \dfrac{3a^3(a+1)^3 + a^3(a+1)^4}{(a+1)^7}$


Oulala : il n'y a pas beaucoup plus simple comme dénominateur commun que ce $(a+1)^7$ surtout si après tu simplifies par $(a+1)^3$ ?
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Re: DM de maths dérivation

Messagepar g_D » Vendredi 09 Novembre 2012, 20:58

Au dénominateur, je ne vois que (a+1)^4 comme forme la plus simple.
Pour le signe, effectivement, je me suis trompée, j'ai oublié le moins :
$T:y= \dfrac{3a^2x}{(a+1)^4} +\dfrac{-3a^3(a+1)^3 +a^3(a+1)^4}{(a+1)^7}$
$T:y= \dfrac{3a^2x}{(a+1)^4} + \dfrac{(a+1)^3(-3a^3+a^3(a+1))}{(a+1)^7}$
$T:y= \dfrac{3a^2x}{(a+1)^4} + \dfrac{-3a^3+a^4+a^3}{(a+1)^4}$
$T:y= \dfrac{3a^2x}{(a+1)^4} + \dfrac{-2a^3+a^4}{(a+1)^4}$
Est-ce cela ?
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Re: DM de maths dérivation

Messagepar kojak » Samedi 10 Novembre 2012, 08:19

g_D a écrit:Au dénominateur, je ne vois que $(a+1)^4$ comme forme la plus simple
et c'est donc lui le dénominateur commun, pas le produit $(a+1)^7$ car $(a+1)^4=(a+1=\times (a+1)^3$, non ?

g_D a écrit:$T:y= \dfrac{3a^2x}{(a+1)^4} + \dfrac{-2a^3+a^4}{(a+1)^4}$
Est-ce cela ?

Ben voilà, c'est correct.

Donc la suite.
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Re: DM de maths dérivation

Messagepar g_D » Samedi 10 Novembre 2012, 18:20

D'accord, donc si T passe par l'origine du repère, alors x=0 et y=0. T a donc pour équation : $\dfrac{-2a^3+a^4}{(a+1)^4}=0.$ On résout donc cette équation.
Cela équivaut à $-2a^3+a^4 =0$
$a^3(-2+a)=0$
$a^3=0$ donc $a=0$ ou $-2+a=0$ donc $a=2$
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