[TS][Spé] Divisibilité

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Lycée.

Modérateur: gdm_aidesco

Règles du forum
Merci d'éviter le style SMS dans vos messages et de penser à utiliser la fonction Recherche avant de poster un message. Pour joindre des fichiers à vos messages, consulter ce sujet.
> Penser à utiliser le mode LaTeX (voir ici) afin de rendre vos formules plus lisibles.
> Ne poster qu'un exercice (ou problème) par sujet et indiquer son niveau précis dans le titre du message.

[TS][Spé] Divisibilité

Messagepar stephanie » Vendredi 24 Avril 2009, 16:12

Bnjour à tout(e)s,
pourriez-vous me dire si mes deux raisonnements sont corrects, je vous en remercie :
Enoncé 1 :
$M$ et $N$ sont deux entiers naturels tels que $M$ a pour écriture $abc$ en base 10 et N a pour écriture $bca$ en base 10. Dire si la proposition suivante est vraie ou fausse : Si l'entier M est divisible par 27alors l'entier $M-N$ est aussi divisible par 27.
Réponse :
$M$ a pour écriture $abc$ en base 10 donc $M=a.10^2+b.10^1+c.10^0$. $M$ est divisible par 27 donc $M \equiv  0 (27)  \Leftrightarrow  a.10^2+b.10^1+c.10^0 \equiv 0(27)$ ce qui impose que $a.10^2\equiv  0(27)$ et $b.10^1\equiv  0(27)$ et $c.10^0\equiv  0(27)$ or 27 ne divise ni $10^2$, ni $10^1$, ni $10^0$, par conséquent, on a nécessairement $a\equiv  0(27)$ et $b\equiv  0(27)$ et $c\equiv  0(27)$. De là, comme $N=bca$ on en déduit que $N\equiv  0(27)$ et donc $M-N\equiv  0(27)$ et $M-N$ est aussi divisible par 27. Voila est-ce correct ?

Enoncé 2 :
Vrai ou Faux : Si un entier relatif $x$ est solution de l'équation $x^2+x\equiv  0(6)$ alors $x\equiv  0(3)$.
Réponse :
$x^2+x\equiv  0(6)  \Leftrightarrow x(x+1)\equiv  0(6)$ ce qui implique que $x\equiv  0(6)$ ou $x+1\equiv  0(6)$ soit encore $x\equiv  0(3)$ (car 6 est un multiple de 3, donc si 6 divise un nombre 3 le divise aussi non ?) ou $x\equiv  5(6)$.
Mais donc $x^2+x\equiv  0(6)$ n'implique pas forcément $x\equiv  0(3)$ (puisque on peut aussi avoir $x\equiv  5(6)$) donc la proposition est fausse.

Je vous remercie et j'attend avec impatience vos remarques :P
stephanie
Méga-utilisateur
 
Messages: 295
Inscription: Dimanche 09 Septembre 2007, 20:00
Statut actuel: Post-bac | CPGE

Publicité

Re: [TS][Spé] Divisibilité

Messagepar evariste_G » Vendredi 24 Avril 2009, 16:27

Ouille ....

Pour le premier exercice, 3 est bien congru à 0 modulo 3. Or, 3 = 1 + 2, mais ce n'est pas pour autant que 1 et 2 sont congrus à 0 modulo 3 ... Si une somme est divisible par 27, ça ne veut pas dire que tous les termes le sont.

Enoncé 2 : tu dis que si un produit est divisible par 6, alors l'un des facteurs est divisible par 6 ... ce qui est faux. Exemple : 2x3 ...
Mathématiques, LaTeX et Python : http://www.mathweb.fr
Cours particuliers de maths et de NSI : https://cours-particuliers-bordeaux.fr/
evariste_G
Téra-utilisateur
 
Messages: 1434
Inscription: Vendredi 19 Décembre 2008, 19:13
Localisation: Bordeaux
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Re: [TS][Spé] Divisibilité

Messagepar stephanie » Vendredi 24 Avril 2009, 16:33

Merci pour votre réponse,
en fait je pensait appliquer la propriété : "Si c divise a et c divise b alors c divise a-b" mais c'est une implication alors elle ne marche que dans un sens c'est bien ca ? en fait ce n'est pas parcequ'on a "c divise a-b que c divise a et c divise b". Ai-je bien compris ? :mrgreen:
Pour l'exo 2 : et bien je pensais que par exemple si on a : 6 divise 12. Comme 6=2*3 on a aussi 2 et 3 qui divise 12. Mais en fait ca fonctionne quand le nombre divisé est strictement supérieur au diviseur ?
Merci beaucoup.
stephanie
Méga-utilisateur
 
Messages: 295
Inscription: Dimanche 09 Septembre 2007, 20:00
Statut actuel: Post-bac | CPGE

Re: [TS][Spé] Divisibilité

Messagepar evariste_G » Vendredi 24 Avril 2009, 16:42

stephanie a écrit:Merci pour votre réponse,
en fait je pensait appliquer la propriété : "Si c divise a et c divise b alors c divise a-b" mais c'est une implication alors elle ne marche que dans un sens c'est bien ca ? en fait ce n'est pas parcequ'on a "c divise a-b que c divise a et c divise b". Ai-je bien compris ? :mrgreen:


Effectivement, il n'y a pas réciprocité.

stephanie a écrit:Pour l'exo 2 : et bien je pensais que par exemple si on a : 6 divise 12. Comme 6=2*3 on a aussi 2 et 3 qui divise 12. Mais en fait ca fonctionne quand le nombre divisé est strictement supérieur au diviseur ?
Merci beaucoup.


En arithmétique, le nombre divisé est toujours supérieur au diviseur ...

Ce que je voulais dire, c'est que si $xy \equiv  0 [k]$, cela ne veut pas dire que $x \equiv 0 [k]$. Il faut une condition ... (regarde ton cours ... $k$ doit etre premier ... ce qui n'est pas le cas :lol: ici)

EDIT : une piste pour le premier ... Si un nombre est divisible par 27, alors il l'est par "3" 3 fois (car $27=3^3$) et on connait un critère de divisibilité par 3 non ?
Dernière édition par evariste_G le Vendredi 24 Avril 2009, 16:45, édité 1 fois.
Mathématiques, LaTeX et Python : http://www.mathweb.fr
Cours particuliers de maths et de NSI : https://cours-particuliers-bordeaux.fr/
evariste_G
Téra-utilisateur
 
Messages: 1434
Inscription: Vendredi 19 Décembre 2008, 19:13
Localisation: Bordeaux
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Re: [TS][Spé] Divisibilité

Messagepar stephanie » Vendredi 24 Avril 2009, 16:44

ah oui c'est exact !!
Pour la 2 c'est la réciproque du théorème de Gauss :mrgreen:
Je vous remercie.
stephanie
Méga-utilisateur
 
Messages: 295
Inscription: Dimanche 09 Septembre 2007, 20:00
Statut actuel: Post-bac | CPGE


Retourner vers Exercices et problèmes : Lycée

 


  • Articles en relation
    Réponses
    Vus
    Dernier message

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum: Aucun utilisateur enregistré et 1 invité