pCloud Premium

[TS Spé] Divisibilité

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Lycée.
Règles du forum
Merci d'éviter le style SMS dans vos messages et de penser à utiliser la fonction Recherche avant de poster un message. Pour joindre des fichiers à vos messages, consulter ce sujet.
> Penser à utiliser le mode LaTeX (voir ici) afin de rendre vos formules plus lisibles.
> Ne poster qu'un exercice (ou problème) par sujet et indiquer son niveau précis dans le titre du message.

[TS Spé] Divisibilité

Messagepar stephanie » Lundi 08 Septembre 2008, 17:34

Bonsoir,

Première heure de cours et déjà bloquée :mrgreen: ! C'est pourquoi je viens chercher votre aide :D Merci d'avance...
Voila les 2 exos en questions :

Exo 1 :
$k$ est un entier naturel, $a = 9 k + 2$ et $b = 12 k + 1$. Prouver que les seuls diviseurs positifs communs de $a$ et $b$ sont $1$ et $5$.
Et bien pour l'instant, j'ai pas vraiment d'idée pour commencer...

Exo 2 :
Trouver tous les couples d'entiers naturels $(a;b)$ tels que $a^2 - b^2 = 21$.
on peut écrire $(a-b) (a+b) = 21$ c'est un produit d'entier donc a divise 21, les diviseurs de $21$ sont : $1, 3, 7, 21$
Il faut donc essayer pour tous les cas $a=1, a=3, a=7$... le problème c'est que je trouve aucun b entier naturel c'est normal ?

Merci
stephanie
Méga-utilisateur
 
Messages: 295
Inscription: Dimanche 09 Septembre 2007, 20:00
Statut actuel: Post-bac | CPGE

Publicité

Re: [TS Spé] Divisibilité

Messagepar MB » Lundi 08 Septembre 2008, 18:12

stephanie a écrit:Exo 1 :
$k$ est un entier naturel, $a = 9 k + 2$ et $b = 12 k + 1$. Prouver que les seuls diviseurs positifs communs de $a$ et $b$ sont $1$ et $5$.
Et bien pour l'instant, j'ai pas vraiment d'idée pour commencer...


Une piste (peut être qu'il y a mieux) :

Tu sais que si un nombre $n$ divise $a$ et $b$, alors ce nombre $n$ divise $\alpha a + \beta b$ ($\alpha$ et $\beta$ dans $\Z$).
Par exemple, $n$ divise $4a-3b$. Tu peux calculer ce nombre ?
MB (Pas d'aide en Message Privé)
Merci d'utiliser $\LaTeX$ (voir ici) et d'éviter le style SMS pour la lisibilité des messages.
MB
Administrateur
 
Messages: 6906
Inscription: Samedi 28 Mai 2005, 13:23
Localisation: Créteil
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Re: [TS Spé] Divisibilité

Messagepar rebouxo » Lundi 08 Septembre 2008, 18:25

J'ai des doutes. En regardant pour les premières valeurs de $k$, cela ne fonctionne pas.
L'énoncé est-il juste ?

Olivier
A line is a point that went for a walk. Paul Klee
Par solidarité, pas de MP
rebouxo
Modérateur
 
Messages: 6979
Inscription: Mercredi 15 Février 2006, 13:18
Localisation: le havre
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Re: [TS Spé] Divisibilité

Messagepar stephanie » Lundi 08 Septembre 2008, 19:52

Rebouxo : j'ai vérifié l'énoncé est recopié sans erreur :D
sinon je me penche sur votre "piste" mais j'avoue que je patoge pas mal :roll:
stephanie
Méga-utilisateur
 
Messages: 295
Inscription: Dimanche 09 Septembre 2007, 20:00
Statut actuel: Post-bac | CPGE

Re: [TS Spé] Divisibilité

Messagepar Valvino » Lundi 08 Septembre 2008, 20:20

Exercice 1

Si $k=1$, alors $a=11$ et $b=13$, et ni 1 ni 5 ne sont des diviseurs positifs communs de $a$ et $b$. Donc l'énoncé est faux.

Exercice 2

Quels sont les diviseurs positifs de 21? En remarquant que $a-b$ et $a+b$ sont de même parité et divisent tous les deux 21, tu devrais obtenir un système d'équations à résoudre.
Valvino
Giga-utilisateur
 
Messages: 922
Inscription: Mercredi 21 Mars 2007, 10:59
Statut actuel: Post-bac | Master

Re: [TS Spé] Divisibilité

Messagepar MB » Lundi 08 Septembre 2008, 20:31

Valvino a écrit:Si $k=1$, alors $a=11$ et $b=13$, et ni 1 ni 5 ne sont des diviseurs positifs communs de $a$ et $b$. Donc l'énoncé est faux.


Bah 1 quand même ça divise un peu tout et n'importe quoi. :D
En tout cas, il est certain que pour $k=1$ le nombre 5 n'est pas un diviseur commun. Pour les autres valeurs faut voir.
Par contre, je pense qu'on peut montrer que 1 et 5 sont les seuls diviseurs communs possibles.
MB (Pas d'aide en Message Privé)
Merci d'utiliser $\LaTeX$ (voir ici) et d'éviter le style SMS pour la lisibilité des messages.
MB
Administrateur
 
Messages: 6906
Inscription: Samedi 28 Mai 2005, 13:23
Localisation: Créteil
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Re: [TS Spé] Divisibilité

Messagepar stephanie » Lundi 08 Septembre 2008, 20:43

Oula la la quelle galère :cry: ...
Pour les diviseurs positifs de 21 : 1, 3,7, 21 mais après vous me parlez de parité de $a+b$ et de $a-b$ mais que signifie ce terme ? Je suis coincée :? Merci pour votre aide
stephanie
Méga-utilisateur
 
Messages: 295
Inscription: Dimanche 09 Septembre 2007, 20:00
Statut actuel: Post-bac | CPGE

Re: [TS Spé] Divisibilité

Messagepar rebouxo » Lundi 08 Septembre 2008, 22:39

stephanie a écrit:Oula la la quelle galère :cry: ...
Pour les diviseurs positifs de 21 : 1, 3,7, 21 mais après vous me parlez de parité de $a+b$ et de $a-b$ mais que signifie ce terme ? Je suis coincée :? Merci pour votre aide

La parité des nombres c'est si ils sont pairs ou impairs. :D Or, tous tes diviseurs de $21$ sont impairs, qu'est-ce que cela veut dire sur $a$ et $b$.

Cela dit, il n'y a pas beaucoup de cas : $a-b =1$ alors $a+b=21$ et donc $2a = \ldots$ et donc $b = \ldots$. Et pareil pour l'autre.

Olivier
A line is a point that went for a walk. Paul Klee
Par solidarité, pas de MP
rebouxo
Modérateur
 
Messages: 6979
Inscription: Mercredi 15 Février 2006, 13:18
Localisation: le havre
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Re: [TS Spé] Divisibilité

Messagepar Valvino » Mardi 09 Septembre 2008, 17:26

MB a écrit:Bah 1 quand même ça divise un peu tout et n'importe quoi. :D


:oops: Désolé lol

Sinon pour le deuxième exercice on peut aussi tester à la bourrin toutes les valeurs possibles. :)
Valvino
Giga-utilisateur
 
Messages: 922
Inscription: Mercredi 21 Mars 2007, 10:59
Statut actuel: Post-bac | Master

Re: [TS Spé] Divisibilité

Messagepar MB » Mardi 09 Septembre 2008, 17:46

stephanie a écrit:sinon je me penche sur votre "piste" mais j'avoue que je patoge pas mal :roll:


Bah ça vaut combien $4a-3b$ ?
MB (Pas d'aide en Message Privé)
Merci d'utiliser $\LaTeX$ (voir ici) et d'éviter le style SMS pour la lisibilité des messages.
MB
Administrateur
 
Messages: 6906
Inscription: Samedi 28 Mai 2005, 13:23
Localisation: Créteil
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Re: [TS Spé] Divisibilité

Messagepar stephanie » Mardi 09 Septembre 2008, 21:43

Voila du nouveau, après quelques explications, mon problème à un peu avancé, surtout pour l'exo 2, je vous mets ce que j'ai fait afin que vous puissiez me dire si c'est correct :

Exo 2 :
Les diviseurs de 21 sont : 1, 3, 7, 21
Quatre solutions :
Soit $a+b=1$ donc $a-b=21$ je trouve $a=11$ et $b=-10$ ca ne marche pas car $b  \notin   \N$
Soit $a+b=3$ donc $a-b=7$ je trouve $a=5$ et $b=-2$ pareil ca ne marche pas car $b \notin  \N$
Soit $a+b=7$ donc $a-b=3$ je trouve $a=5$ et $b=2$ OK
Soit $a+b=21$ donc $a-b=1$ je trouve $a=11$ et $b=10$ OK
Il y aurait donc 2 couples solutions ? : $(5;2)$ et $(11;10)$

Pour l'exo 1 :

$4a-3b = 4(9k+2)-3(12k+1)=5$ On retrouve le 5 ? mais le 1 ? mais d'ailleurs d'où sortent 3 et 4 ?
Je m'embrouille :shock: Pourriez vous m'expliquer svp quand vous êtes face à ce genre d'énoncer comment vous faite pour démeler la situation et vous en sortir ? Quelle est la logique à appliquer ? Que faire pour commencer ?
Merci
stephanie
Méga-utilisateur
 
Messages: 295
Inscription: Dimanche 09 Septembre 2007, 20:00
Statut actuel: Post-bac | CPGE

Re: [TS Spé] Divisibilité

Messagepar rebouxo » Mardi 09 Septembre 2008, 22:33

Non, $a$ et $b$ sont positifs. Donc $a+b > a-b$. Cela devrait marcher mieux.

Olivier
A line is a point that went for a walk. Paul Klee
Par solidarité, pas de MP
rebouxo
Modérateur
 
Messages: 6979
Inscription: Mercredi 15 Février 2006, 13:18
Localisation: le havre
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Re: [TS Spé] Divisibilité

Messagepar MB » Mardi 09 Septembre 2008, 23:20

stephanie a écrit:$4a-3b = 4(9k+2)-3(12k+1)=5$ On retrouve le 5 ? mais le 1 ? mais d'ailleurs d'où sortent 3 et 4 ?


On sait que si un nombre divise à la fois $a$ et $b$, alors il divise $4a-3b$ et donc il divise 5. Or, les seuls nombres qui divisent 5 sont 1 et 5 justement. Ce sont donc les deux seules valeurs possibles pour ce diviseur commun. Et pourquoi le 3 et le 4 : pour éliminer le $k$.
MB (Pas d'aide en Message Privé)
Merci d'utiliser $\LaTeX$ (voir ici) et d'éviter le style SMS pour la lisibilité des messages.
MB
Administrateur
 
Messages: 6906
Inscription: Samedi 28 Mai 2005, 13:23
Localisation: Créteil
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant


Retourner vers Exercices et problèmes : Lycée

 


  • Articles en relation
    Réponses
    Vus
    Dernier message

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum: Aucun utilisateur enregistré et 1 invité

pCloud Premium