[TS] Distance d'un point à une courbe

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[TS] Distance d'un point à une courbe

Messagepar Agrippinet » Lundi 01 Mars 2010, 16:33

Bonjour, je fais une nouvelle fois appel à votre aide pour un TP informatique (pour la partie expérimentale) et de la réflexion pour la partie théorique.

Énoncé :
Dans le plan $P$ rapporté à un repère orthonormal (O,i,j), la courbe $C$ est la courbe représentative de la fonction exponentielle et le point B a pour coordonnées (2,-1)
On admet que la distance BM admet un minimum quand M décrit $C$. Ce minimum est appelé distance du point B à la courbe $C$.

Le but de l'exercice est de trouver la distance du point B à la courbe $C$.

1) Réaliser à l'aide d'un logiciel une figure dynamique (http://upload.mezimages.net/1267454119.Distance_d%27un_point_a_une_courbe.bmp)
a) M est un point quelconque de la courbe $C$. Faire une conjecture sur la position du point M pour laquelle la distance BM semble minimale.
On appelle ce point $M_0$.

b) Tracer la droite $d$ perpendicualire en $M_0$ la droite $(BM_0)$.
Quelle semble être la position particulière de la droite $d$ ?

c) Utiliser le logiciel pour contrôler les conjectures et, éventuellement, les rectifier.

2) On se propose de déterminer la valeur exacte de la distance du point B à la courbe $C$
a) Déterminer, par le calcul, la position du point $M_0$.
b) Quelle est la valeur exacte de la distance du point B à la courbe $C$ ?

3) Vérifier, par le calcul, la conjecture formulée au 1.b)

Production demandée :
- la figure dynamique
- la formulation des conjectures
- la réponse aux questions

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Comme d'habitude j'ai commencé le TP avant de vous le sous mettre, voilà ce que cela donne :

1.a) La distance BM semble être minimale pour un point M de coordonnées (0;1). Elle est équivalente à BM = 2,83. On appelle ce point $M_0$.

b) La position particulière de la droite d est en $M_0$. Celle ci devient une tangente à la courbe $C$ en ce point.

c) On vérifie la distance BM grâce au logiciel. 2,83 est bien la valeur minimale.
Cela vérifie la conjecture émise en a).

On déplace le point M sur la courbe $C$. La droite d passant par M est séquente à la courbe $C$ sauf en un seul point, où elle lui est tangente, qui est $M_0$ de coordonnées (0;1).
Cela vérifie la conjecture émise en b).

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Après je me suis mit à la partie plus théorique, la deuxième partie.

2.a) Sachant que B est de coordonnées (2;-1) et M de coordonnées (x;$exp(x)$), on a :

$BM = \sqrt{(2-x)^2+(-1-exp(x))^2}$
$\Leftrightarrow BM = \sqrt{4-4x+x^2+1-2exp(x)+(exp(x))^2$
$\Leftrightarrow BM = \sqrt{5-4x+x^2-2exp(x)+(exp(x))^2$

et après je reste bloqué là, je ne vois pas comment je peux réduire plus l'expression afin de l'étudier sous forme de fonction.

Si vous pouviez confirmer ce que j'ai fait jusqu'à présent et m'aider à trouver la suite ca serait sympathique.

Merci d'avance.
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Re: [TS] Distance d'un point à une courbe

Messagepar Minibob59 » Lundi 01 Mars 2010, 19:17

Bonjour ! :)

Dans le calcul de $BM$, il me semble avoir trouvé une petite erreur :

$$ BM = \sqrt{(x_M - x_B)^2 + (y_M - y_B)^2} $$


$$ BM = \sqrt{(x - 2)^2 + (\exp{(x)} + 1)^2} $$


$$ BM = \sqrt{x^2 - 4x + 4 + \exp{(2x)} + 2\exp{(x)} + 1} $$


$$ BM = \sqrt{\exp{(2x) + 2\exp{(x)} + x^2 -4x + 5} $$



Ensuite, moi non plus je ne vois pas comment simplifier, mais rien de t'empêche de l'étudier pour autant : il existe des formules de dérivation pour $\sqrt{u}$... :P
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Re: [TS] Distance d'un point à une courbe

Messagepar GMaths » Lundi 01 Mars 2010, 19:24

$BM$ est minimal lorsque $BM^2$ est minimal.

Donc il suffit d'étudier la fonction $f:x\mapsto f(x)=BM^2$.
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Re: [TS] Distance d'un point à une courbe

Messagepar Mikelenain » Lundi 01 Mars 2010, 19:53

GMaths a écrit:$BM$ est minimal lorsque $BM^2$ est minimal.

Donc il suffit d'étudier la fonction $f:x\mapsto f(x)=BM^2$.

ouais, bah moi je me méfie toujours des passages au carré, à cause des ensemble de définition >.>

Sinon, je serais plus de l'avis de Minibob59. La dérivation est ton amie :P
Par contre, Minibob59 >> t'aurais pu expliquer le passage de $(e^x)^2 -> e^{2 x}$
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Re: [TS] Distance d'un point à une courbe

Messagepar GMaths » Lundi 01 Mars 2010, 19:59

Mikelenain a écrit:
GMaths a écrit:$BM$ est minimal lorsque $BM^2$ est minimal.

Donc il suffit d'étudier la fonction $f:x\mapsto f(x)=BM^2$.

ouais, bah moi je me méfie toujours des passages au carré, à cause des ensemble de définition >.>


:shock: :shock:

$BM$ est une distance !!!!!! Donc $BM$ minimal équivaut à $BM^2$ minimal. Il n'y a aucune contestation possible pour cela.

Donc je le redis : il suffit d'étudier la fonction $f:x\mapsto f(x)=BM^2$.
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Re: [TS] Distance d'un point à une courbe

Messagepar Mikelenain » Lundi 01 Mars 2010, 20:03

je suis méfiant (parano) par nature :P
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Re: [TS] Distance d'un point à une courbe

Messagepar GMaths » Lundi 01 Mars 2010, 20:11

Mikelenain a écrit:je suis méfiant (parano) par nature :P


Je veux bien... mais la question est celle d'un TS... et ma réponse est du niveau seconde (Il faut savoir que la fonction carré est strict. croissante sur $[0;+\infty[$ pour comprendre l'équivalence)
Donc il n'y a pas à se méfier. ;-)
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Re: [TS] Distance d'un point à une courbe

Messagepar Mikelenain » Lundi 01 Mars 2010, 20:22

c'est juste à condition que le truc sous la racine soit positif.
mais sinon, il faut jouer avec les valeur absolu ;)
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Re: [TS] Distance d'un point à une courbe

Messagepar kojak » Lundi 01 Mars 2010, 20:27

Bonjour,

Mikelenain a écrit:Par contre, Minibob59 >> t'aurais pu expliquer le passage de $(e^x)^2 -> e^{2 x}$

Bof, faut pas non plus exagérer : ce sont les formules du cours..

Mikelenain a écrit:c'est juste à condition que le truc sous la racine soit positif.

Euh... ne serait ce pas immédiat vu la première ligne.

PS : de plus, il est inutile de développer pour l'instant ce qu'il y a sous la racine.

Agrippinet a écrit:$BM = \sqrt{(2-x)^2+(-1-exp(x))^2}$


et faire comme indiqué par GMaths et peut être plus, en dérivant une seconde fois afin d'avoir le signe de cette foutue dérivée :wink:
pas d'aide par MP
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Re: [TS] Distance d'un point à une courbe

Messagepar GMaths » Lundi 01 Mars 2010, 20:57

kojak a écrit:
Mikelenain a écrit:c'est juste à condition que le truc sous la racine soit positif.

Euh... ne serait ce pas immédiat vu la première ligne.

Je compléterai en disant que : pour établir la formule de distance, bien connue, on montre que $AB^2$ est la somme de deux carrés, PUIS on en déduit $AB$.

kojak a écrit:en dérivant une seconde fois afin d'avoir le signe de cette foutue dérivée :wink:

C'est l'option facile... dont on doit avoir l'idée compte tenu qu'il est facile de conjecturer que $f'$ est croissante sur $\R$ et s'annule en 0.

Une autre issue (moins évidente à voir pour un TS) est d'écrire $f'(x)$ sous la forme d'une somme de deux termes qui ont chacun le signe de x.
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Re: [TS] Distance d'un point à une courbe

Messagepar Agrippinet » Mardi 02 Mars 2010, 13:23

Bonjour, déjà merci pour vos réponses à tous ! J'ai une petite question car maintenant je suis dans le doute.
$BM = \sqrt{(2-x)^2+(-1-exp(x))^2}$
et
$ BM = \sqrt{(x - 2)^2 + (\exp{(x)} + 1)^2} $
sont bien équivalents non ? (vu que c'est au carré ?)

Après j'ai un problème avec la dérivée des exponentielles.
$(exp(x))'=exp(x)$ ?
$(exp(2x))'=(exp(u))'=u'exp(u)=exp(2x)$ ?
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Re: [TS] Distance d'un point à une courbe

Messagepar jcs » Mardi 02 Mars 2010, 14:21

bonjour
Agrippinet a écrit:$(exp(x))'=exp(x)$ ?
$(exp(2x))'=(exp(u))'=u'exp(u))$

pour cela oui
qu'avez-vous posé pour $u(x)$? et que vaut alors $u'(x)$?

Agrippinet a écrit:(exp(2x))'=exp(2x)

où est passé le $u'(x)$
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Re: [TS] Distance d'un point à une courbe

Messagepar Agrippinet » Mardi 02 Mars 2010, 14:50

Oups, petite étourderie : $(exp(2x))'=2exp(2x)$
car $u(x) = 2x$ et $u'(x) = 2$

Donc si $BM^2=f(x)= (2-x)^2+(-1-exp(x))^2$

Pour tout $x, x \in Df$, on a :

$f'(x) = 2*-1(2-x)+2*-exp(x)(-1-exp(x))$
$\Leftrightarrow f'(x) = -4+2x+2exp(x)+2(exp(x))^2$
$\Leftrightarrow f'(x) = 2exp(2x)+2exp(x)+2x-4$

Faut-il que je dérive encore une fois ?

Cela donnerait $f''(x) = 4exp(2x)+2exp(x)+2$

A partir de là je peux étudier la fonction ?
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Re: [TS] Distance d'un point à une courbe

Messagepar rebouxo » Mardi 02 Mars 2010, 16:01

Quel est le signe de $f''(x)$, que peut-on en déduire pour $f'(x)$ ? Combien de fois $f'(x)$ s'annule-t-elle ? Pour quelle valeur ?
(là il y aune indication...). Enfin variation de $f$, et conclusion.

Il y a une autre idée que l'on peut avoir (il me semble, je retrouve là même valeurs).

On cherche la pente de $BM$, et l'on cherche une perpendiculaire qui est aussi une tangente à la courbe. Les calculs sont un poil plus simple. Par contre je serais bien embêté de justifier le passage à la perpendiculaire. ça marche, mais pourquoi, j'en sais pas grand chose.

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Re: [TS] Distance d'un point à une courbe

Messagepar jcs » Mardi 02 Mars 2010, 18:04

bonjour
j'avais aussi pensé à cette proposition
à mon avis c'est ainsi que l'on définit la distance d'un point à une droite

si on a un point A H son projeté orthogonal sur d et une droite d et un point M de cette droite
$AH \leq AM$ un côté est plus petit que l'hypoténuse
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Re: [TS] Distance d'un point à une courbe

Messagepar GMaths » Mardi 02 Mars 2010, 18:09

Agrippinet a écrit:$f'(x) = 2exp(2x)+2exp(x)+2x-4$

Faut-il que je dérive encore une fois ?

Cela donnerait $f''(x) = 4exp(2x)+2exp(x)+2$


Il faut ? Non, mais tu peux... car c'est plus simple que de s'apercevoir que

$$f '(x)=g(x)+h(x)$$

avec

$$g(x)=2x$$

et

$$h(x)=\left(e^x-1\right)\left(2e^x+4\right)$$

deux expressions ayant le même signe que $x$.


Plus simplement, la fonction $h$ a aussi pour expression :

$$h(x)=2exp(2x)+2exp(x)-4$$


et il est aisé de prouver que :
$x>0$ implique $2exp(2x)>2$ et $2exp(x)>2$, pour en déduire que $2exp(2x)+2exp(x)>4$ puis $h(x)>0$
$x<0$ implique $2exp(2x)<2$ et $2exp(x)<2$, pour en déduire que $2exp(2x)+2exp(x)<4$ puis $h(x)<0$
donc $h(x)$ est du signe de $x$.
Dernière édition par GMaths le Mercredi 03 Mars 2010, 12:50, édité 3 fois.
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Re: [TS] Distance d'un point à une courbe

Messagepar Agrippinet » Mardi 02 Mars 2010, 20:59

rebouxo a écrit:Quel est le signe de $f''(x)$, que peut-on en déduire pour $f'(x)$ ? Combien de fois $f'(x)$ s'annule-t-elle ? Pour quelle valeur ?
(là il y aune indication...). Enfin variation de $f$, et conclusion.


Comme $f''(x)$ est strictement positif car $exp(x)>0$ pour tout $x, x\in R$, alors $4exp(2x)+2exp(x)+2=0$ n'admet aucune solution réelle donc $f'(x)$ ne s'annule jamais.
Si f'(x) est strictement croissante, alors f(x) l'est aussi.
Je vois pas ce que je peux faire d'autre.

GMaths a écrit:

$$f '(x)=g(x)+h(x)$$

avec

$$g(x)=2x$$

et

$$h(x)=\left(e^x-1\right)\left(2e^x+4\right)$$



Pour votre méthode, il faut que g et h soient de même signe pour qu'elle soit croissante ? Si g et h sont de signe contraire la fonction est décroissante c'est cela ?
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Re: [TS] Distance d'un point à une courbe

Messagepar GMaths » Mardi 02 Mars 2010, 22:01

Agrippinet a écrit:Comme $f''(x)$ est strictement positif car $exp(x)>0$ pour tout $x, x\in R$, alors $4exp(2x)+2exp(x)+2=0$ n'admet aucune solution réelle donc $f'(x)$ ne s'annule jamais.
Si f'(x) est strictement croissante, alors f(x) l'est aussi.
Je vois pas ce que je peux faire d'autre.


Horreur ! (c'est le genre de chose que j'écris dans les copies)

Agrippinet a écrit:
GMaths a écrit:

$$f '(x)=g(x)+h(x)$$

avec

$$g(x)=2x$$

et

$$h(x)=\left(e^x-1\right)\left(2e^x+4\right)$$



Pour votre méthode, il faut que g et h soient de même signe pour qu'elle soit croissante ? Si g et h sont de signe contraire la fonction est décroissante c'est cela ?


Horreur !

Dis moi : tu es bien sûr d'apprendre tes leçons ?

Que dit ton cours de première S et que rappelle ton cours de TS... sur l'utilisation d'une dérivée dans le cadre d'une étude de fonction ? A quoi sert-elle principalement ?
Quel déduction peut on faire entre $f$ et sa dérivée $f '$ ?
Quel déduction peut on faire entre $f '$ et sa dérivée $f ''$ ?

Je demande cela... car apparemment tu confonds tout : notamment variation et signe... et tu as l'air de croire que ce qui est vrai pour $f '$ le serait automatiquement pour $f$.
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Re: [TS] Distance d'un point à une courbe

Messagepar Agrippinet » Mardi 02 Mars 2010, 23:11

Je comprends votre désarrois, c'est également le miens (quand on a pas de prof de maths pendant la moitié de l'année en première S...).
La dérivée seconde permet de trouver les points d'inflexions d'une fonction non ? Donc d'étudier ses variations ?
Si f"(x) est tout le temps positive, f'(x) devrait être croissante ?
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Re: [TS] Distance d'un point à une courbe

Messagepar GMaths » Mardi 02 Mars 2010, 23:57

Agrippinet a écrit:Je comprends votre désarrois, c'est également le miens (quand on a pas de prof de maths pendant la moitié de l'année en première S...).
La dérivée seconde permet de trouver les points d'inflexions d'une fonction non ? Donc d'étudier ses variations ?

Les variations de ??? Tu n'as pas compris la notion de point d'inflexion.

Agrippinet a écrit:Si f"(x) est tout le temps positive, f'(x) devrait être croissante ?

Là, oui.

Si $f ''$ est strict. positive sur un intervalle I, alors $f '$ est strict. croissante sur I.

A partir de là, tu peux dresser le tableau de variation de $f '$ et le compléter avec : éventuellement les limites (inutile ici) et l'image d'un nombre judicieusement choisi, qui permettrait de démontrer qu'en plus d'être croissante; $f '$ est une fonction qui change de signe pour une valeur de $x$ relativement simple.

Tu vas alors pouvoir en déduire le signe de $f '(x)$...
... et que pourras tu en déduire alors ? Je te le laisse deviner. ;-)
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