[TS] Distance d'un point à une courbe

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Re: [TS] Distance d'un point à une courbe

Messagepar Agrippinet » Mercredi 03 Mars 2010, 00:50

Pour moi l'intervalle I c'est $R$ car $f''(x)$ est strictement positive car $exp(x)>0$ pour tout $x, x  \in R$.
Je viens d'avoir une révélation, c'est parce que je m'embrouille avec les primes, d'habitude quand il y a qu'une dérivée je sais faire. J'essayais de calculer pour $f alors qu'il faut calculer $f'(x)=0$ (quand est ce que $f'(x)$ change de signe ... Y a des jours... :|

Donc $f'(x) = 0$ <=> $2exp(2x)+2exp(x)+2x-4=0$ <=> $x=0$

Donc f'(x) change de signe en 0. Maintenant il faut deviner son signe. Le signe dépend de $2x$ car $exp(x)>0$ donc $f'(x)>0$ si x>0 et $f'(x)<0$ si $x<0$.

Maintenant que j'ai le signe de $f'(x)$, je peux trouver les variations de $f(x)$. Donc $f'(x)>0$ fait que $f(x)$ est croissante. $f'(x)<0$ fait que $f(x)$ est décroissante.
f(x) change de variation (comment on formule déjà ?) pour tout $f(0) = (2-0)^2 + (-1-exp(x))^2$ <=> $f(0)=8$.

Ce qui me parait plutôt cohérent car $8 = 2 \sqrt{2}$.
Comme BM² est minimale induit que BM est minimale (car la fonction carrée est croissante sur [0; +inf[) alors la valeur minimale de BM est $2 \sqrt{2}$.

Je sais pas si la rédaction est bonne, mais le calcule et raisonnement est bon non ?
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f(x) et f'(x) sont sur un bateau, f(x) tombe à l'eau, que fait f'(x) ? (le gagnant aura le droit à un bonbon) =]
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Re: [TS] Distance d'un point à une courbe

Messagepar GMaths » Mercredi 03 Mars 2010, 01:26

Agrippinet a écrit:Pour moi l'intervalle I c'est $R$ car $f''(x)$ est strictement positive car $exp(x)>0$ pour tout $x, x  \in R$.
Je viens d'avoir une révélation, c'est parce que je m'embrouille avec les primes, d'habitude quand il y a qu'une dérivée je sais faire. J'essayais de calculer pour $f alors qu'il faut calculer $f'(x)=0$ (quand est ce que $f'(x)$ change de signe ... Y a des jours... :|

Donc $f'(x) = 0$ <=> $2exp(2x)+2exp(x)+2x-4=0$ <=> $x=0$

Donc f'(x) change de signe en 0. Maintenant il faut deviner son signe. Le signe dépend de $2x$ car $exp(x)>0$ donc $f'(x)>0$ si x>0 et $f'(x)<0$ si $x<0$.

Maintenant que j'ai le signe de $f'(x)$


Tu as le signe... mais tu l'as mal justifié.

Tu m'as mal lu :

GMaths a écrit:Si $f ''$ est strict. positive sur un intervalle I, alors $f '$ est strict. croissante sur I.

A partir de là, tu peux dresser le tableau de variation de $f '$ et le compléter avec : éventuellement les limites (inutile ici) et l'image d'un nombre judicieusement choisi, qui permettrait de démontrer qu'en plus d'être croissante; $f '$ est une fonction qui change de signe pour une valeur de $x$ relativement simple.

Tu vas alors pouvoir en déduire le signe de $f '(x)$...


Tu ne peux pas écrire cette équivalence que tu n'as pas justifiée : $2exp(2x)+2exp(x)+2x-4=0$ <=> $x=0$

Tu dois calculer $f '(0)$ pour faire constater qu'une solution de $f '(x)=0$ est 0. (l'unicité n'est alors pas prouvée)
Tu l'ajoutes alors à ton tableau de variation de $f '$...
... et c'est seulement alors, en utilisant le sens de variation de $f '$ (une fonction strict. croissante conserve l'ordre) et le fait que $f '$ s'annule en $0$, ... que tu peux en déduire le signe de $f '(x)$ sur chacun des intervalles $]-\infty;0[$ et $]0;+\infty[$.
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Re: [TS] Distance d'un point à une courbe

Messagepar GMaths » Mercredi 03 Mars 2010, 01:33

Je n'avais pas lu la suite et notammment cela :
Agrippinet a écrit:Ce qui me parait plutôt cohérent car $8 = 2 \sqrt{2}$.

Agrippinet a écrit:Je sais pas si la rédaction est bonne, mais le calcule et raisonnement est bon non ?

Bein... dans ton univers où $8$ est égal à $2 \sqrt{2}$, peut-être qu'ils sont bons. :lol: :lol:
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Re: [TS] Distance d'un point à une courbe

Messagepar Agrippinet » Mercredi 03 Mars 2010, 01:51

$f'(0) = 0$ (après calcul)

Comme $f'(x)$ est croissante sur R et qu'elle est de signe négatif sur ]-inf;0] alors $f(x)$ est décroissante sur ]-inf;0].
Comme $f'(x)$ est croissante sur R et qu'elle est de signe positif sur [0;+inf[ alors $f(x)$ est croissante sur [0;+inf[.

D'ailleurs comment s'appelle ce théorème ? (pour ma justification)
D'ailleurs je vois pas pourquoi ma justification avec le signe de 2x est mauvaise, car dans la pratique elle fonctionne.
Si 2x>0 donc x>0, f'(x) est positive.
Si 2x<0 donc x<0, f'(x) est négative.
Mais bon, votre méthode est surement la meilleure (simple curiosité de ma part).

Ensuite f(0)=8. Comme f(x)=BM², et que la valeur minimale BM² est celle de BM (car la fonction carré est strictement croissante sur [0;+inf[) alors $\sqrt{8}$ $= 2\sqrt{2}$ (et oui racine de 8 je me suis trompé sur l'écriture c'est tout).
Donc BM est minimale pour $BM  = 2\sqrt{2}$
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Re: [TS] Distance d'un point à une courbe

Messagepar Agrippinet » Mercredi 03 Mars 2010, 01:57

Là le truc c'est que j'ai l'impression d'avoir répondu à la question 2.c) et pas à la 2.b). Comment je fais pour trouver la valeur de $M_0$ ?
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Re: [TS] Distance d'un point à une courbe

Messagepar rebouxo » Mercredi 03 Mars 2010, 11:13

Agrippinet a écrit:$f'(0) = 0$ (après calcul)

OK
Agrippinet a écrit:Comme $f'(x)$ est croissante sur R et qu'elle est de signe négatif sur ]-inf;0] alors $f(x)$ est décroissante sur ]-inf;0].
Comme $f'(x)$ est croissante sur R et qu'elle est de signe positif sur [0;+inf[ alors $f(x)$ est croissante sur [0;+inf[.

Tout cela est bien confus. Et je pense que c'est ton principal problème. La confusion dans tes connaissances, et dans ce que tu étudies ($f''$,$f'$ et $f$) et pourquoi tu les étudies.

Je n'arrive pas à savoir si tu as trouvé le signe de $f''(x)$ et ce que tu en as déduit. Je ne dis pas que tu ne l'as pas fait, je dis que je ne sais pas si c'est clair pour toi, parce que dans ce que tu écris ce n'est pas claire. Je ne vois pas une phrase :


$f''(x)$ est positive sur $\R$, donc $f'(x)$ est croissante.


Même pour toi, faire des conclusions claires, visibles (sur tes brouillons, sur ta copie, sur le forum) te serait utile. C'est la même chose dans une dissertation, il me semble.

Je ne vois pas non plus une étude du signe de $f'(x)$ claire ainsi que la conclusion.
$f'$ est strictement croissante et s'annule en $0$, donc le signe de $f'(x)$ est .... sur .... et .... sur .....

Ensuite, une fois que l'on a le signe de $f'(x)$, on peut passer aux variations de $f$.

Puis conclure sur la distance minimum. C'est quoi $f$ ? comment tu l'as définie ?

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Re: [TS] Distance d'un point à une courbe

Messagepar GMaths » Mercredi 03 Mars 2010, 12:33

Agrippinet a écrit:Comme $f'(x)$ est croissante sur R et qu'elle est de signe négatif sur ]-inf;0] alors $f(x)$ est décroissante sur ]-inf;0].
Comme $f'(x)$ est croissante sur R et qu'elle est de signe positif sur [0;+inf[ alors $f(x)$ est croissante sur [0;+inf[.

D'ailleurs comment s'appelle ce théorème ? (pour ma justification)


Ce que tu as écrit ne va toujours pas.
Ce n'est pas un théorème qui a un nom : c'est l'application de la définition (que tu ne connais pas) d'une fonction croissante .

Comme $f '$ est strict. croissante sur R, elle conserve l'ordre et on peut en déduire que :
pour tout réel $x<0$, on a $f '(x)<f '(0)$ et sachant que $f '(0)=0$ ............ on en déduit que $f '<0$ sur $\left]-\infty; 0\right[$.
pour tout réel $x>0$, on a $f '(x)>f '(0)$ et sachant que $f '(0)=0$ ............ on en déduit que $f '>0$ sur $\left]0; +\infty\right[$.

et seulement, après, du seul signe de $f '$, tu déduis les variations de $f$.

Agrippinet a écrit:D'ailleurs je vois pas pourquoi ma justification avec le signe de 2x est mauvaise, car dans la pratique elle fonctionne.
Si 2x>0 donc x>0, f'(x) est positive.
Si 2x<0 donc x<0, f'(x) est négative.
Mais bon, votre méthode est surement la meilleure (simple curiosité de ma part).


Je résume ta pensée :
$f '(x)=2exp(2x)+2exp(x)+2x-4=0$ et tu as l'air de croire que, parce que $2exp(2x)>0$ et $exp(x)>0$, $f '(x)$ est nécessairement du signe de $2x$.

Je suis au regret de te dire que, ce que tu crois être une façon de raisonner qui "fonctionne" (pour reprendre ton expression)...
... est malheureusement un raisonnement incroyablement faux pour un TS.

Tu as l'air de croire que ... si on a une expression de la forme $A+B+C-4$ avec $A>0$ et $B>0$, alors l'expression $A+B+C-4$ a le même signe que $C$.
Et bien... c'est une énorme et colossale erreur. Désolé de te le dire.
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Re: [TS] Distance d'un point à une courbe

Messagepar Agrippinet » Mercredi 03 Mars 2010, 15:12

GMaths a écrit:Comme $f '$ est strict. croissante sur R, elle conserve l'ordre et on peut en déduire que :
pour tout réel $x<0$, on a $f '(x)<f '(0)$ et sachant que $f '(0)=0$ ............ on en déduit que $f '<0$ sur $\left]-\infty; 0\right[$.
pour tout réel $x>0$, on a $f '(x)>f '(0)$ et sachant que $f '(0)=0$ ............ on en déduit que $f '>0$ sur $\left]0; +\infty\right[$.


Oui... C'est juste évident maintenant que vous le dite...

GMaths a écrit:et seulement, après, du seul signe de $f '$, tu déduis les variations de $f$.


Comme $f'<0$ sur $\left]-\infty; 0\right[$, alors f est décroissante sur $\left]-\infty; 0\right[$.
Comme $f'>0$ sur $\left]0; +\infty\right[$, alors f est croissante sur $\left]0; +\infty\right[$.

GMaths a écrit:Tu as l'air de croire que ... si on a une expression de la forme $A+B+C-4$ avec $A>0$ et $B>0$, alors l'expression $A+B+C-4$ a le même signe que $C$.
Et bien... c'est une énorme et colossale erreur. Désolé de te le dire.


Oubliez ce que je viens de dire, c'est des additions et pas des multiplications, donc cela ne fonctionne pas :blushing:
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Re: [TS] Distance d'un point à une courbe

Messagepar Agrippinet » Mercredi 03 Mars 2010, 15:19

Je pense que j'ai tout cela sur mon brouillon mais difficile a exprimer sur l'ordinateur (de plus j'ai dit plus haut que f''(x) est strictement positive sur R.

rebouxo a écrit:Puis conclure sur la distance minimum. C'est quoi $f$ ? comment tu l'as définie ?


$f$ c'est la fonction associée à la distance $BM^2$. Donc comme $f(0)=8$ et que $BM$ est minimal lorsque $BM^2$ est minimal, alors $\sqrt{8}$ $= 2\sqrt{2}$ donc la valeur minimale est $BM = 2\sqrt{2}$.

Cela répond à la 2.c), comme je peux trouver les coordonnées de $M_0$ ?
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Re: [TS] Distance d'un point à une courbe

Messagepar kojak » Mercredi 03 Mars 2010, 15:32

Bonjour,

Agrippinet a écrit:donc la valeur minimale est $BM = 2\sqrt{2}$.
pour quelle valeur de $x$ ? et donc tu as une partie de la réponse à cette question :

Agrippinet a écrit: comme je peux trouver les coordonnées de $M_0$ ?
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Re: [TS] Distance d'un point à une courbe

Messagepar Agrippinet » Mercredi 03 Mars 2010, 15:34

Pour x = 0. Ca j'ai trouvé. Mais c'est pour trouver la valeur de y (qui est 1 normalement d'après le logiciel) que je ne sais quoi faire.
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Re: [TS] Distance d'un point à une courbe

Messagepar kojak » Mercredi 03 Mars 2010, 15:42

Il faut relire ton énoncé : il est où le point $M$ ?
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Re: [TS] Distance d'un point à une courbe

Messagepar jcs » Mercredi 03 Mars 2010, 15:43

bonjour
M n'est-il point un point de la courbe représentative de la fonction exponentielle ?
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Re: [TS] Distance d'un point à une courbe

Messagepar Agrippinet » Mercredi 03 Mars 2010, 15:59

Si exactement. Et exp(0) = 1 :D Suis je bête donc, $M_0$ (x;exp(x)) donne $M_0$ (0;1)
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Re: [TS] Distance d'un point à une courbe

Messagepar kojak » Mercredi 03 Mars 2010, 16:01

Agrippinet a écrit: Suis je bête donc,
Non, mais tout simplement tu perds l'énoncé en cours d'exercice : c'est pour cela qu'une lecture attentive est nécessaire, voire même une gribouille sur ton brouillon qui résume la situation :wink:
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Re: [TS] Distance d'un point à une courbe

Messagepar Agrippinet » Mercredi 03 Mars 2010, 16:22

1.b) La position particulière de la droite d est en $M_0$. Celle ci devient une tangente à la courbe C en ce point.


3) Vérifier, par le calcul, la conjecture formulée au 1.b)

Je pensais appliquer l'équation de la tangente en $M_0$ non ? (si déjà ma conjecture est bonne).

$y = f '(a) (x - a) + f(a)$
<=> $y = 0 (x - 0) + 1$
<=> $y = 1$
Cela prouve l'existence d'une tangente en $M_0$ (0;1).

C'est cela ?
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Re: [TS] Distance d'un point à une courbe

Messagepar kojak » Mercredi 03 Mars 2010, 16:28

Tu cherches la tangente en quel point ?

et que vaut $f'(a)$ :?:
pas d'aide par MP
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Re: [TS] Distance d'un point à une courbe

Messagepar jcs » Mercredi 03 Mars 2010, 16:30

n'était-ce point la tangente à la courbe représentative de la fonction exponentielle que vous voulez écrire ?
quel est le nombre dérivé de la fonction exponentielle en 0 ? pensez-vous réellement que ce soit 0

je vais continuer de corriger mes copies
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Re: [TS] Distance d'un point à une courbe

Messagepar Agrippinet » Mercredi 03 Mars 2010, 16:58

jcs a écrit:n'était-ce point la tangente à la courbe représentative de la fonction exponentielle que vous voulez écrire ?


Si c'est cela .. Décidemment ... Merci

Je cherche la tangente en $M_0$ donc en (0;1) à la fonction exp(x).

$f(x) = f'(x) = exp (x)$
$f(0) = f'(0) = 1$
$y = f'(0)(x-0)+f(0)$
$y = 1(x-0)+1$
$y = x +1$
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Re: [TS] Distance d'un point à une courbe

Messagepar kojak » Mercredi 03 Mars 2010, 17:13

Ah ben ce résultat est nettement mieux.

Au fait, tu cherches à montrer quoi ?
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