Dérivée, variations d'une fonction

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Dérivée, variations d'une fonction

Messagepar Catalunya » Mercredi 16 Janvier 2013, 17:58

On considère la fonction f définie sur l'intervalle [4 : 12] par l'expression :
f(x)= - 40x² + 600x - 2000

1) Résoudre l'équation f(x)=0
2) Calculer f'(x) où f' désigne la fonction dérivée de f.
3) Résoudre l'équation f'(x)=0
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Re: DM de Math " Dérivée - Variations d'une fonction"

Messagepar plop08 » Mercredi 16 Janvier 2013, 20:21

Bonsoir,

si vous êtes en terminale bac pro, vous avez du voir en première un cours sur la résolution des équations du second degré. Ca devrait vous aider pour la question 1).

pour le calcul de la dérivée, découpez votre travail : quelle est la dérivée de $40x^2$ et quelle est la dérivée de $600x-2000$
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Re: Dérivée, variations d'une fonction

Messagepar Catalunya » Samedi 19 Janvier 2013, 14:48

Je dois d'abord calculer Delta,
Ce que j'ai fais :

b²-4ac
600² - 4 * (-40) * (-2000)
36 0000 - 160 * 2000
36 0000 - 32 0000
40 000
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Re: Dérivée, variations d'une fonction

Messagepar plop08 » Samedi 19 Janvier 2013, 15:01

non $\Delta$ vous permet de savoir si il y a 1, 2 ou 0 solution(s) à votre équation (vous devez le déterminer avec le signe de $\Delta$)

donc ici ? combien de solutions ?

écrivez les et je vous dirai si c'est bon.
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Re: Dérivée, variations d'une fonction

Messagepar Catalunya » Samedi 19 Janvier 2013, 15:15

J'ai calculer Delta comme cela :


Δ = b² - 4ac
Δ = 600² - 4x ( -40 ) * ( - 2 000)
Δ = 36 0000 - 160 * 2 000
Δ = 36 0000 - 32 0000
Δ = 40 000


Donc si j'ai bien compris il existe 2 solutions ?

x1= -b + sqrt (delta) / 2a
x2 = -b - sqrt (delta) / 2a

x=1 (-600) + sqrt(40 000) / 2 * (-40)
x=1 (-600) + 200 / 2 * (-40 )
x1= -400 / - 80
x1= 5



x2 = (-600) - sqrt(40 000) / 2 * (-40)
x2= (-600) - 200 / 2 * (-40)
x2= 400 / - 80
x2 = - 10

J'ai un doute pour la deuxième, 400 / -80 donc un résultat négatif ?
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Re: Dérivée, variations d'une fonction

Messagepar plop08 » Samedi 19 Janvier 2013, 16:05

C'est bien.
Juste une erreur de signe -600-200=-800.
La seconde solution est donc 10.
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Re: Dérivée, variations d'une fonction

Messagepar Catalunya » Samedi 19 Janvier 2013, 16:54

Je dois donc maintenant calculer f'

donc ma fonction étant f(x) = - 40x² + 600x - 2 000

En essayant de comprendre mon cours j'ai comme dérivé :

f'(x) = -40 * 2x + 600 * 1 - 2 000

comment on fait pour calculer une dérivé, enfin pour la trouver déjà
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Re: Dérivée, variations d'une fonction

Messagepar plop08 » Samedi 19 Janvier 2013, 16:56

alors presque :)

la dérivée d'une forme $ax+b$ est $a$

donc $f'(x)=-80x+600$
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Re: Dérivée, variations d'une fonction

Messagepar Catalunya » Samedi 19 Janvier 2013, 17:01

Même si là c'est x² ?

Je pensais au début que a+b1+0, mais comme c'est un x² est non un x, je ne sais plus
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Re: Dérivée, variations d'une fonction

Messagepar plop08 » Samedi 19 Janvier 2013, 17:05

pas de soucis, on reprend :

$ax^2$ --> $2ax$ après la dérivation

$bx+c$ --> $b$ après la dérivation.

votre $f(x)$ était (et je vous l'avais dit) à découper en deux bouts :

$-40x^2$ dont la dérivée était $-80x$

et $600x-2000$ dont la dérivée était $600$

donc $f'x)=-80x+600$.
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Re: Dérivée, variations d'une fonction

Messagepar Catalunya » Samedi 19 Janvier 2013, 17:14

humm d'accord
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Re: Dérivée, variations d'une fonction

Messagepar plop08 » Samedi 19 Janvier 2013, 17:16

La derivée de $600x-2000$ est $600$ et c'est tout.
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Re: Dérivée, variations d'une fonction

Messagepar Catalunya » Samedi 19 Janvier 2013, 17:53

Pour ce qui est de résoudre l'équation f'(x)=0

J'ai trouvée le résultat en faisant f'(x)= 600/ 80 = 7.5

f'(7.5) = - 80 * 7.5 + 600 = 0

Mais mon développement est faux je pense
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Messagepar plop08 » Samedi 19 Janvier 2013, 18:04

non non c'est bien ça !

la dérivée s'annule bien en 7,5.

ce qui signifie et votre professeur vous en parlera surement que votre fonction admet en cette valeur ($x=7,5$) un extremum (ici un maximum).
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Re: Dérivée, variations d'une fonction

Messagepar Catalunya » Samedi 19 Janvier 2013, 18:27

Au début mes deux fonctions avec la solution de x=5 et de x=10 faisais donc f(x)=0 pour les deux.

La dernière question de mon dm et de dire le bénéfice maximum dégagé et la quantité de produit qui correspond,

La fonction de base était B = -40q+ 600q - 2 000
Avec B en milliers d'euros et q en milliers de produits.

Mais puisque les deux fonction était égales à 0 , il n'y a pas de bénéfice maximum ? et la quantité de produit était donc mes deux solutions c'est à dire 5 et 10 non ?
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Re: Dérivée, variations d'une fonction

Messagepar plop08 » Samedi 19 Janvier 2013, 18:34

j'ai déjà répondu :)

votre fonction est maximum quand votre dérivée est nulle.

ne pas confondre $f(x)=0$ et $f'(x)=0$.

vous êtes en bac pro tertiaire non ?
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Re: Dérivée, variations d'une fonction

Messagepar Catalunya » Samedi 19 Janvier 2013, 18:42

Oui je suis en tertiaire.

Mais 7.5 correspond a B donc le Bénéfice maximum, mais pas a la quantité
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Messagepar plop08 » Samedi 19 Janvier 2013, 18:46

et bien il faut calculer $f(7,5)$ :)
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Re: Dérivée, variations d'une fonction

Messagepar Catalunya » Samedi 19 Janvier 2013, 18:51

C'est égal à 0. Donc le maximum du bénéfice est de 7.5 milliers d'euros pour 0 comme quantité de produits ?
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Re: Dérivée, variations d'une fonction

Messagepar plop08 » Samedi 19 Janvier 2013, 18:54

ah non $f(7,5)$ ne donne pas 0....
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