[1ère ES] Dérivations

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[1ère ES] Dérivations

Messagepar Mrs-Lina » Lundi 03 Mars 2008, 14:15

Bonjour, j'ai un exercice sur les dérivées et je bloque a un endroit, merci pour votre aide.
Voici l'exercice:

Exercice:

1. a. Dans un repère orthonormal, tracer la courbe C représentant la fonction f: x--> $\sqrt{x}$ définie sur $I = [0; +\infty[$
b. Tracer la droite delta d'équation y= $\frac{1}{2}$ x + $\frac{1}{2}$
Delta semble tangente a C. En quel point? J'ai répondu au point (1;1)
c. Démontrer que delta semble tangente a C et indiquer les coordonnées du point de contact. Donc là j'ai remis (1;1)

2. a. Démontrer qu'une droite d'équation y = mx+p est tangente a C équivaut a m>0 et 4mp=1.
Préciser alors les points de contact.

Voici ce que j'ai déjà fait:
Une droite est tangente a C en un point A(a;f(a)) si et seulement si son équation est y= f'(a) (x-a) + f(a)

Donc y= $\dfrac{1}{2Va }$ (x-a) + $\sqrt{a}$

y= $\dfrac{1}{2Va }$ X x - $\dfrac{1}{2Va }$ x a + $\sqrt{a}$
Cette équation est de la forme y = mx+p avec m= $\dfrac{1}{2Va }$ et p= -$\dfrac{1}{2Va }$ x a + $\sqrt{a}$
m existe si et seulement si {a est différent de 0 et a est supérieur ou égal a 0

Donc a>0 ; 2$\sqrt{a}$>0; $\dfrac{1}{2Va }$>0
Donc m>0

J'ai donc également démontrer pour 4mp=1

Mais je bloque a partir de "Préciser alors les coordonnées du point de contact"

Merci pour votre aide (:
Dernière édition par Mrs-Lina le Lundi 03 Mars 2008, 17:07, édité 1 fois.
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Re: [ 1 ère ES] Dérivations

Messagepar guiguiche » Lundi 03 Mars 2008, 14:55

Si $m=p=\dfrac12$ (on a donc bien $m>0$ et $4mp=1$), en quel point y a-t-il "tangence" ?
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
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Re: [ 1 ère ES] Dérivations

Messagepar Mrs-Lina » Lundi 03 Mars 2008, 17:17

Le point de contact serait (1;1) encore...

b. déterminer l'équation de la droite tangente a C et le pt de contact si m= 1/4

4mp=1 et m>0
m=$\frac{1}{4}$ dc m>0
m=$\frac{1}{4}$

4 X $\frac{1}{4}$ X p=1
4 X $\frac{1}{4}$ X 1= 1
4 X $\frac{1}{4}$ =1

L'équation de la tangente serait donc:
y=$\frac{1}{4}$x + 1
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Re: [ 1 ère ES] Dérivations

Messagepar guiguiche » Lundi 03 Mars 2008, 17:20

Mrs-Lina a écrit:Le point de contact serait (1;1) encore...

Mince, mon exemple était mal choisi.
Et avec $m=\dfrac13$ ? En quel point y a-t-il tangence ?
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
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Re: [ 1 ère ES] Dérivations

Messagepar Mrs-Lina » Lundi 03 Mars 2008, 17:32

Désolée guiguiche je comprends pas ce qu'on cherche à faire

Mrs-Lina a écrit:2. a. Démontrer qu'une droite d'équation y = mx+p est tangente a C équivaut a m>0 et 4mp=1.
Préciser alors les points de contact.


On cherche les coordonnées générales du point de contact ?
Vu qu'il appartient à la tangente & à la courbe faut faire un systeme ???

{(1)&(2)

(1): équation tangente avec 4mp=1
(2): équation courbe

?
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Re: [ 1 ère ES] Dérivations

Messagepar guiguiche » Lundi 03 Mars 2008, 17:36

Sais-tu répondre à la question que je t'ai posée ? Je prétends que la droite d'équation $y=\dfrac13x+\dfrac34$ est la tangente à ta courbe en un certain point. Lequel ?
Lorsque tu sauras répondre à cette question, je pense que tu sauras répondre à celle de ton exercice.
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Re: [ 1 ère ES] Dérivations

Messagepar Mrs-Lina » Lundi 03 Mars 2008, 17:41

guiguiche a écrit:Sais-tu répondre à la question que je t'ai posée ? Je prétends que la droite d'équation $y=\dfrac13x+\dfrac34$ est la tangente à ta courbe en un certain point. Lequel ?
Lorsque tu sauras répondre à cette question, je pense que tu sauras répondre à celle de ton exercice.


$y=\dfrac13x+\dfrac34$ serait donc tangente a $y=\sqrt{x}$

donc je te disais doit on faire un systeme avec ces deux équations pour trouver la réponse sachant que le point est ET sur la courbe ET sur la droite :oops:

(j'ai bien la réponse graphiquement mais bon...)
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Re: [ 1 ère ES] Dérivations

Messagepar guiguiche » Lundi 03 Mars 2008, 17:44

ce que l'on cherche ici c'est ? dans $y=f'(a)(x-a)+f(a)=mx+p$ quelle est l'inconnue ?
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Re: [ 1 ère ES] Dérivations

Messagepar Mrs-Lina » Lundi 03 Mars 2008, 17:48

guiguiche a écrit:ce que l'on cherche ici c'est ? dans $y=f'(a)(x-a)+f(a)=mx+p$ quelle est l'inconnue ?

Les inconnues sont $x$ & $y$ puisqu'on cherche des coordonnées ? non :roll: ?
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Re: [ 1 ère ES] Dérivations

Messagepar guiguiche » Lundi 03 Mars 2008, 18:21

On cherche d'abord $a$ : la droite est tangente au point d'abscisse $x=a$. :wink: Ensuite, on en déduit la valeur de $y$.
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Re: [ 1 ère ES] Dérivations

Messagepar Mrs-Lina » Lundi 03 Mars 2008, 18:31

guiguiche a écrit:On cherche d'abord $a$ : la droite est tangente au point d'abscisse $x=a$. :wink: Ensuite, on en déduit la valeur de $y$.


ok donc si je reprends ta question

$y=\dfrac13x+\dfrac34$ serait donc tangente a $y=\sqrt{x}$

f'(a)(x-a)+f(a) $=$ 1/3x+3/4

f'(a)x-f'(a)a+f(a )$=$ 1/3x+3/4

f'(a) = 1/3 $=$ 1/(2 $\sqrt{a}$)

donc 3 $=$ 2 $\sqrt{a}$

$\sqrt{a}$ = 3/2

a = (3/2)² = 9/4
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Re: [ 1 ère ES] Dérivations

Messagepar guiguiche » Lundi 03 Mars 2008, 19:06

oui
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Re: [ 1 ère ES] Dérivations

Messagepar Mrs-Lina » Lundi 03 Mars 2008, 21:16

guiguiche a écrit:oui


ok donc pour cet exo (2.b)

f'(A)(x-a)+f(A) $=$ 1/4x+1

f'(A)x-f'(A)a+f(a )$=$ 1/4x+1

f'(A) = 1/4 = 1/(2 $\sqrt{a}$)

donc 4 = 2 $\sqrt{a}$
donc $\sqrt{a}$ = 4/2
donc a = (4/2) ²

On vient de trouver a c'est à dire l'abscisse du point ou la tangente coupe la courbe $C$
ce point est sur la courbe $C$ donc il vérifie l'équation de la droite : f( x)= $\sqrt{x}$
donc f(a) = $\sqrt{4}$
donc f(4)= y = 2

Coordonnées du point de contact sont donc (4;2)

Par contre pour la 2.a comment procéder en sachant juste que 4mp=1
faut partir de 4 X f'(A) x [ f'(A)a+f(a )]=1

4X $\dfrac{1}{2Va }$ X - ( $\dfrac{1}{2Va }$ x a + $\sqrt{a}$ ) =1

c'est la bonne méthode pour trouver a ?
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Re: [ 1 ère ES] Dérivations

Messagepar guiguiche » Lundi 03 Mars 2008, 21:47

$m=f'(a)=\dfrac1{2\sqrt a}$ d'où $a$ en fonction de $m$.
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Re: [ 1 ère ES] Dérivations

Messagepar Mrs-Lina » Lundi 03 Mars 2008, 21:58

ok je marque m à la place de f'(a) alors, ça donne :

4 X m X - ( m x a + $\sqrt{a}$ ) $=$ 1

-4m² X a - 4m$\sqrt{a}$ $=$ 1

-4m² X a - 4m$\sqrt{a}$ $=$ 1

$\sqrt{a}$ (-4m²$\sqrt{a}$ - 4m) $=$ 1

$\sqrt{a}$ $=$ 1 / (-4m²$\sqrt{a}$ - 4m)

($\sqrt{a}$$=$ [1 / (-4m²$\sqrt{a}$ - 4m)]²

a $=$ [1 / (-4m²$\sqrt{a}$ - 4m)]²

... :roll: peut on vraiment isoler a ?
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