[TES] Dérivation

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[TES] Dérivation

Messagepar buggs » Vendredi 05 Octobre 2007, 20:00

Bonsoir,

Pour une entreprise E dont la production peut varier de 0 à 300 unités, le coût total de fabrication de x unités, exprimé en euros , est donné par la fonction : C(x) = (1/30)x^3 – 15x² + 2500x.

On appelle coût marginal la dépense occasionnée par la production d'un objet supplémentaire, on choisit comme modélisation de ce coût marginal ; Cm (x) = C ' (x )
On suppose que l'entreprise est en situation de monopole, ce qui a pour effet que la demande est uniquement fonction du prix
Quand x objets (demande, en unités) sont vendus, chancun l’est au prix unitaire P(x) = -45/8x + 2750.

1. Calculer la recette totale R( x ) pour la vente de x unités.

2. On appelle recette marginal l'augmentation de recette procurée par la vente d'un objet supplémentaire.
On modélise cette recette marginale par : rm( x ) = R ' (x ) où R ' est la dérivée de R
Pour quelle valeur de x la recette marginale est-elle égale au coût marginal ?

3. Montrer que le bénéfice pour la production et la vente de x unités est donné par :
B(x) = -1/3x^3 + 75/2x² + 250x.
Calculer B ' (x ) , où B ' représente la fonction dérivée de B.
En déduire que le bénéfice est maximum quand la recette marginale est égale au coût marginal.
Que vaut ce bénéfice maximum ?


Je suis bloqué sur les questions 2 et 3.
Je vous explique où.

1) c'(x) = 1/10x² - 30x + 2500
R(x) = x * p(x)
= x(-45/8x +2750) = -45/8x² +2750x.

2) J'ai calculé R'(x)
R'(x) = -45/4x + 2750.
Il faut trouver x quand R'(x) = C'(x).
Ce qui donne -45/4x + 2750 = 1/10x² - 30x + 2500
-45/4x + 2750 - 1/10x² + 30x - 2500 = 0
-1/10x² +18.75x -250 = 0
J'ai appliqur Delta = 361.5625 donc sup. à 0
Donc deux solutions : 188.9 et 282.6 mais aucun des deux lorsqu'on remplace dans la formule rend les deux formules identiques. Je ne comprends pas comment faire pour trouver x.

3) B(x) = 1/30x^3 + 75/8x² +250x
B'(x) = 1/10x² + 75/4 + 250.
Et après je suis bloquée.

Pouvez vous m'aider ?
Merci beaucoup. :)
Dernière édition par buggs le Vendredi 05 Octobre 2007, 21:26, édité 1 fois.
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Re: Dérivation

Messagepar guiguiche » Vendredi 05 Octobre 2007, 20:16

2) Ton raisonnement me semble correct donc il doit y avoir des erreurs dans tes calculs.

3) As-tu montré que le bénéfice B(x) est bien donné par l'expression proposée ?
Il te faut étudier le signe de B'(x) afin d'obtenir les variations de la fonction B. Ensuite tu ne pourras conclure que lorsque tu auras la bonne réponse à la question 2.

Edit : si tu pouvais utiliser $\LaTeX$ pour la mise en forme de tes expressions (difficiles à interpréter), voir l'aide.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
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Re: Dérivation

Messagepar buggs » Vendredi 05 Octobre 2007, 20:22

Pour la queston 2 il faut prendre laquelle des deux expressions trouvées?
Oui pour le 3 j'ai montré que le bénéfice = 1/30x^3+075/8x² + 250x
B(x) = R(x) - C(x)
= -45/8x² + 2750x - ( 1/30x^3 - 15x² + 2500x)
= -45/8x² + 2750x - 1/30x^3 + 15x² - 2500x
= -1/30x^3 + 75/8x² + 250x.
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Re: Dérivation

Messagepar buggs » Vendredi 05 Octobre 2007, 20:30

J'ai trouvé ma faute dans 2)
x1 = -12.5 mais impossible et x2 = 500 pour chacune des expressions.
Mais comment faire dans 3) pour déduire que le bénéfice est maximal quand la recette marginal est égae au cout marginal ? et le calculer ?
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Re: Dérivation

Messagepar guiguiche » Vendredi 05 Octobre 2007, 20:30

2) Ton discriminant est faux.
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Re: Dérivation

Messagepar guiguiche » Vendredi 05 Octobre 2007, 20:31

buggs a écrit:Mais comment faire dans 3) pour déduire que le bénéfice est maximal quand la recette marginal est égae au cout marginal ? et le calculer ?

As-tu établi le tableau de variation de la fonction B ?
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
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Re: Dérivation

Messagepar buggs » Vendredi 05 Octobre 2007, 20:38

pardon x = 200 et non 500.
Oui j'ai dressé le tableau :

x 0 300
b'(x) 0 +
b(x) 0 croissante 1818750
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Re: Dérivation

Messagepar buggs » Vendredi 05 Octobre 2007, 20:44

pardon je refais le tableau

x...................0................300
b'(x)...............0.........+
b.................. 0.....croissante..1818750
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Re: Dérivation

Messagepar guiguiche » Vendredi 05 Octobre 2007, 21:05

Et le reste du tableau ?
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Re: Dérivation

Messagepar buggs » Vendredi 05 Octobre 2007, 21:11

Comment ça le reste ? c'est tout non ? que manque t-il ?
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Re: Dérivation

Messagepar guiguiche » Vendredi 05 Octobre 2007, 21:28

Je n'avais pas vu que c'était sur l'intervalle [0,300].
Tu dois avoir commis une erreur dans les variations de B ou dans le signe de B'(x) ou dans le discriminant (si ta valeur 200 est la bonne).
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
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Re: [TES] Dérivation

Messagepar buggs » Vendredi 05 Octobre 2007, 21:33

Non x = 200 est juste jai refais plusieurs fois les calculs
Et B'(x) s'anuule en 0.
Et B(300) = 1818750.

B'x) = 1/10x² + 75/4 x+ 250.
Le signe est positif donc B(x) est croissante non ?
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Re: [TES] Dérivation

Messagepar guiguiche » Vendredi 05 Octobre 2007, 21:39

Ton expression de B'(x) est presque la même que celle qui t'a permis d'obtenir la valeur 200. Je crois que les deux expressions devraient être identiques. De plus, ton expression de B(x) change régulièrement d'un message à l'autre (il y a au moins 3 expressions différentes écrites).
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
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Re: [TES] Dérivation

Messagepar buggs » Vendredi 05 Octobre 2007, 21:42

Non j'ai trouvé 200 avec b(x) et non b'(x).
Mais mes formules de B(x) sont juste. Les différentes écritures sont égales.
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Re: [TES] Dérivation

Messagepar buggs » Vendredi 05 Octobre 2007, 21:58

Je vais me coucher.
Je reprendrai tout ça calmement demain.
Merci beaucoup pour votre aide. :)
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Re: [TES] Dérivation

Messagepar buggs » Samedi 06 Octobre 2007, 09:35

En fait je suis toujours bloquée sur la 3) :oops:
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