Dérivation

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Lycée.

Modérateur: gdm_aidesco

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Dérivation

Messagepar Webby » Mardi 10 Octobre 2006, 19:21

Bonjour à tous !!

J'ai un exercice sur les dérivations pour Jeudi.

Voici l'énoncé :

Sur la figure ci-dessous est tracée la courbe Cf représentant, dans le plan muni d'un repère orthogonal, une fonction $f$ définie dans l'intervalle $[-1 ; 6]$.
On sait que la courbe Cf :
* coupe l'axe des ordonnées en le point $A$, d'ordonnée $3$, et l'axe des abscisses en le point $B$, d'abscisse $b$ ;
* admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses au point d'abscisse $2$;
* admet la droite Ta pour tangente au point $A$.


Figure >> http://up.mezimages.com/up/10/1218531kscan_0033.png


On étudie maintenant la fonction g qui à x associe $g(x) = \sqrt{f(x)}$

1. Précisez l'intervalle de définition I de la fonction g
2. Etudiez les variations de la fonction g sur I
3. Calculez $g'(0)$ et $g'(2)$
4. Résolvez dans I l'inéquation $g(x) \geq \sqrt{2}$
5. Construisez la courbe représentative de $g$ sur I

[EDIT kilébo] : LaTeX
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Messagepar Webby » Mardi 10 Octobre 2006, 19:21

1. Je ne suis pas sur de l'intervalle de def, donc je vous demande. Je pense à 3 possibilités :

[0 ; 6] ou [-1; b] ou [0; b]

Cela m'handicape pour la suite....
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Messagepar kilébo » Mardi 10 Octobre 2006, 19:47

Webby,

$g(x)$ est définie dès lors où $f(x) \geq 0$. Quels sont les points $x$$f(x) \geq 0$ ?
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Messagepar Webby » Mardi 10 Octobre 2006, 19:52

kilébo a écrit:Webby,

$g(x)$ est définie dès lors où $f(x) \geq 0$. Quels sont les points $x$$f(x) \geq 0$ ?

Donc [-1 ; point b]
A la place du point b, mieux vaut-il que j'indique 2+√10 ou non ?
Merci
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Messagepar kilébo » Mardi 10 Octobre 2006, 19:57

Webby a écrit:Donc [-1 ; point b]
A la place du point b, mieux vaut-il que j'indique 2+√10 ou non ?
Merci


Attention, ce n'est pas le point $b$ mais $[-1 ; b]$. Il ne faut pas confondre un point et son abscisse. Mais sinon, c'est bien ça.

Je ne sais pas d'où tu sors $2 + \sqrt{10}$ mais $b$ est très bien puisqu'il apparaît dans l'énoncé comme cela.
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Messagepar Webby » Mardi 10 Octobre 2006, 20:11

Merci.
2. Je ne vois pas le méthode à suivre (dérivé, si oui comment ?)

3. Alors $f'(0)$ = 2
donc $g'(0)$ = $\sqrt{2}$ = 2après je ne pense pas qu'il soit possible d'aller plus loin

$f'(2)$ = 0 (tangente horizontale)
$g'(2)$ = $\sqrt{0}$ = 0 donc tangente horizontale.
Dernière édition par Webby le Mardi 10 Octobre 2006, 20:25, édité 1 fois.
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Messagepar kilébo » Mardi 10 Octobre 2006, 20:19

Webby a écrit:2. Je ne vois pas le méthode à suivre (dérivé, si oui comment ?)


Ah non ! La dérivation est malheureusement le réflexe de l'étudiant moyen lorsqu'il s'agit de trouver le sens de variation d'une fonction mais cela devrait être la dernière des solutions ! (Il en est de même, par ex, du calcul du discriminant pour les trinômes).

Ici nous avons un graphique de $f$. Nous connaissons donc la croissance de $f$. De plus la croissance de la fonction $x \to \sqrt{x}$ est connue. Reste à appliquer les théorèmes simples du genre : une fonction croissante composée avec une fonction croissante est croissante. Une fonction croissante composée avec une fonction décroissante est décroissante.

Webby a écrit:3. Alors f'(0) = 2
donc g'(0) = √2 après je ne pense pas qu'il soit possible d'aller plus loin

f'(2) = 0 (tangente horizontale)
g'(2) = √0 = 0 docn tangente horizontale.


Es-tu vraiment certain que $(\sqrt{u(x)})' = \sqrt{u'(x)}$ ? Je crois que si c'était le cas, cela se serait ;-)

Webby a écrit:4. Je ne vois pas là aussi comment faire. Pouvez-vous juste me dire comment faire ?


Il faut écrire $g(x) = \sqrt{f(x)}$ et passer au carré en faisant bien attention que $x \geq y \Leftrightarrow x^2 \geq y^2$ n'est vrai que si $x, y \geq 0$
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Messagepar Webby » Mercredi 11 Octobre 2006, 13:34

Pour le 2, j'ai tout compris, merci beaucoup.


Pour le 3, le problème se complique, je suis sur que $g'(2) = 0$
par contre pour $g'(0)$, je pense qu'il peut etre égal à $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$

Pour le 4 : $g(x) \geq \sqrt{2}$
$g(x) \geq \sqrt{f(x)}$

$\sqrt{f(x)} = \sqrt{2} $
$f(x) \geq 2$
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Messagepar Webby » Mercredi 11 Octobre 2006, 20:40

Pour le 4, j'y suis arrivé.
Par contre, j'aimerais être sur pour le 3, pourriez-vous me le confirmer svp ?
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Messagepar kilébo » Mercredi 11 Octobre 2006, 20:43

Je suis d'accord pour le 6.
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Messagepar Webby » Mercredi 11 Octobre 2006, 21:07

kilébo a écrit:Je suis d'accord pour le 6.


Heuuuuuu.... de quel 6 parles-tu ?
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Messagepar kilébo » Mercredi 11 Octobre 2006, 21:54

Webby a écrit:
kilébo a écrit:Je suis d'accord pour le 6.


Heuuuuuu.... de quel 6 parles-tu ?


Je voulais dire que j'étais d'accord pour la question 3. Oups.
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Messagepar Webby » Mercredi 11 Octobre 2006, 22:27

Du coup pour le 4, j'ai une petite question :

$g(x) \geq \sqrt{2}$
Or $g(x) = \sqrt{f(x)}$
Donc $g(x) = \sqrt{f(x)} \geq \sqrt{2}$

On élève les deux racines au carré

et on trouve $f(x) \geq 2$

Est-ce juste ?
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Messagepar kilébo » Mercredi 11 Octobre 2006, 22:34

Oui comme ça, pas de problème.

Mais, pour être sûr que tu as compris, si j'écris $h(x) \leq 2 \Rightarrow h^2(x) \leq 4$. Est-ce toujours vrai si h est une application à valeurs réelles ?
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Messagepar Webby » Mercredi 11 Octobre 2006, 22:38

kilébo a écrit:Oui comme ça, pas de problème.

Mais, pour être sûr que tu as compris, si j'écris $h(x) \leq 2 \Rightarrow h^2(x) \leq 4$. Est-ce toujours vrai si h est une application à valeurs réelles ?
Merci. Car on m'a aussi dit que le résultat pouvait être 2 et non pas 0, possible ?


Pour application à valeurs réelles, je n'ai jamais entendu ce terme (je en suis qu'en T ES)
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Messagepar kilébo » Mercredi 11 Octobre 2006, 22:41

Une fonction si tu veux (de toute façon, tu n'étudies que les fonctions qui donnent des réels).
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