Dérivation, parabole et normale

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Lycée.

Modérateur: gdm_aidesco

Règles du forum
Merci d'éviter le style SMS dans vos messages et de penser à utiliser la fonction Recherche avant de poster un message. Pour joindre des fichiers à vos messages, consulter ce sujet.
> Penser à utiliser le mode LaTeX (voir ici) afin de rendre vos formules plus lisibles.
> Ne poster qu'un exercice (ou problème) par sujet et indiquer son niveau précis dans le titre du message.

Dérivation, parabole et normale

Messagepar farator » Samedi 16 Décembre 2006, 14:37

Bonjour à tous!

Soit une fonction $h(x)=x^2-4x+5$

$M$ désignant un point de la courbe représentative $H$ d'une fonction dérivable $h$, on appelle normale à $H$ en $M$ la droite passant par $M$ et perpendiculaire à la tangente à $H$ au point $M$.

Montrer qu'il existe un unique point de $H$ en lequel la normale passe par $O$ (origine du repère): donner une valeur approchée de l'abscisse de ce point.


J'ai essayé d'utiliser la relation: deux droites sont perpendiculaires si le produit de leur coef directeur = -1
$h'(x)=2x-4$
donc coef dir de la tangente en $m$ = $2m-4$
coef directeur de la normale = $\dfrac{y_m-y_0}{x_m-x_0} = \dfrac{m^2-4m+5}{m}$
Mais après l'équation $\dfrac{m^2-4m+5}{m}(2m-4)=-1$ ne me donne pas de résultats concluants
Merci de m'aider!

[Edit Arnaud : LaTeX, merci de faire un effort pour la lisibilité]
farator
Déca-utilisateur
 
Messages: 10
Inscription: Samedi 16 Décembre 2006, 14:35

Publicité

Re: dérivation, parabole et normale

Messagepar kojak » Samedi 16 Décembre 2006, 14:46

farator a écrit:J'ai essayé d'utiliser la relation: deux droites sont perpendiculaires si le produit de leur coef directeur = -1
h'(x)=2x-4
donc coef dir de la tangente en m = 2m-4
Correct...
farator a écrit:coef directeur de la normale = (ym-y0)/(xm-x0) = (m²-4m+5)/m
ca s'est le coeff directeur de la droite $(OM)$ et non la normale...

Utilise le fait que le produit des coefficients directeur est égal à $-1$ comme tu l'as dit...
kojak
Modérateur
 
Messages: 10374
Inscription: Samedi 18 Novembre 2006, 19:50
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

la normale est la droite (OM)

Messagepar farator » Samedi 16 Décembre 2006, 15:24

Je ne comprends pas car la normale à la tangente en M est perpendiculaire à cette tangente et passe par M...
Ainsi (OM) = normale
farator
Déca-utilisateur
 
Messages: 10
Inscription: Samedi 16 Décembre 2006, 14:35

Messagepar kojak » Samedi 16 Décembre 2006, 15:43

Tu vas trop vite...
Tout d'abord, tu cherches une équation de ta normale grâce au coefficient directeur, et seulement ensuite, tu écriras qu'elle doit passer par le point origine $O$.... Car le but, c'est de déterminer combien il existe de point sur la parabole dont la normale passe par l'origine...
Pigé :shock:
kojak
Modérateur
 
Messages: 10374
Inscription: Samedi 18 Novembre 2006, 19:50
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

ok compris, mais apres???

Messagepar farator » Samedi 16 Décembre 2006, 16:27

Tm a pour coef dir 2m-4
Nm a pour coef dir -1/(2m-4)=> y=-x/(2m-4)+b
m²-4m+5 = -m/(2m-4)+b
m²-4m+5-(-m/(2m-4)) = b
m²-4m+5-(-m/(2m-4)) = 0
m²-4m+5+(m/(2m-4) = 0
(((m²-4m+5)(2m-4))/2m-4)+((m(2m-4))/(2m-4)=0
On résout ensuite (m²-4m+5)(2m-4)+(2m-4)m=0
2m^3-4m²-8m²+16m+10m-20+2m²-4m = 0
2m^3-10m²+23m-20 = 0

Et comment on fait pour résoudre ça???
farator
Déca-utilisateur
 
Messages: 10
Inscription: Samedi 16 Décembre 2006, 14:35

Messagepar Arnaud » Samedi 16 Décembre 2006, 16:30

[Edit Arnaud : LaTeX, merci de faire un effort pour la lisibilité]
Arnaud

Un peu d'info - Pyromaths
LaTeX - Exemples de formules LaTeX

Pas d'aide en MP (non plus)
Arnaud
Modérateur
 
Messages: 7115
Inscription: Lundi 28 Août 2006, 12:18
Localisation: Allemagne
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Re: ok compris, mais apres???

Messagepar kojak » Samedi 16 Décembre 2006, 16:36

farator a écrit:Tm a pour coef dir 2m-4
Nm a pour coef dir -1/(2m-4)=> y=-x/(2m-4)+b
m²-4m+5 = -m/(2m-4)+b
m²-4m+5-(-m/(2m-4)) = b
m²-4m+5-(-m/(2m-4)) = 0
m²-4m+5+(m/(2m-4) = 0
jusque là , correct...;
farator a écrit:(((m²-4m+5)(2m-4))/2m-4)+((m(2m-4))/(2m-4)=0
là problème...
En code Latex $\dfrac{(m^2-4m+5)(2m-4)}{2m-4}+\dfrac{m}{2m-4}=0$... Je ne sais ce que tu as fait quand tu as réduis au même dénominateur...

Ensuite, tu développes et réduis comme t'avais fait précédemment, et tu vas bien obtenir une équation de degré 3.... On te demande une valeur approchée et donc tu dois avoir une calculatrice que tu devrais savoir utiliser...
kojak
Modérateur
 
Messages: 10374
Inscription: Samedi 18 Novembre 2006, 19:50
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Messagepar farator » Samedi 16 Décembre 2006, 16:36

Merci de me mettre ces liens
Vont-ils m'aider pour l'exercice?
farator
Déca-utilisateur
 
Messages: 10
Inscription: Samedi 16 Décembre 2006, 14:35

Messagepar kojak » Samedi 16 Décembre 2006, 16:47

farator a écrit:Merci de me mettre ces liens
Vont-ils m'aider pour l'exercice?

Que signifie ceci ? :roll:
kojak
Modérateur
 
Messages: 10374
Inscription: Samedi 18 Novembre 2006, 19:50
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Oui je me suis trompé

Messagepar farator » Samedi 16 Décembre 2006, 16:52

Cela donne finalement
2m^3-12m²+27m-20 = 0
Et je ne vois pas comment on peut résoudre cette équation de degré3.
Ma calculette est une viellie casion 25 et n'a même pas de résolution d'équation (sauf du 2nd degré que j'ai fabriqué)
farator
Déca-utilisateur
 
Messages: 10
Inscription: Samedi 16 Décembre 2006, 14:35

Messagepar kojak » Samedi 16 Décembre 2006, 16:54

Ok, correct...
Ben tu traces la courbe de la fonction $f(x)=2x^3-12x^2+27x-20$ avec une bonne fenetre et tu regardes graphiquement la ou les solutions de $f(x)=0$... et tu lis une valeur approchée...
kojak
Modérateur
 
Messages: 10374
Inscription: Samedi 18 Novembre 2006, 19:50
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Messagepar farator » Samedi 16 Décembre 2006, 17:02

A ben oui Je trouve m environ = 1.2
Ca pourrait bien etre ca non?
farator
Déca-utilisateur
 
Messages: 10
Inscription: Samedi 16 Décembre 2006, 14:35

Messagepar kojak » Samedi 16 Décembre 2006, 17:08

Fais un zoom ou agrandis ta fenetre ou sinon fais une table, car ta valeur n'est pas terrible....
kojak
Modérateur
 
Messages: 10374
Inscription: Samedi 18 Novembre 2006, 19:50
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant


Retourner vers Exercices et problèmes : Lycée

 


  • Articles en relation
    Réponses
    Vus
    Dernier message

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum: Aucun utilisateur enregistré et 2 invités