Démontrer un théorème

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Démontrer un théorème

Messagepar garfield1 » Mardi 02 Octobre 2007, 16:47

je dois démontrer un théorème :
démontrer que tout entier naturel, supérieur ou égal à 2, impair, non premier, non carré parfait est décomposable de deux façons, au moins en une différence de deux carrés

je sais qu'un nombre impair se note 2q-1
différence de 2 carrés a^2-b^2=(a-b)(a+b)
mais comment faire pour trouver a et b?
garfield1
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Re: Démontrer un théorème

Messagepar rebouxo » Mardi 02 Octobre 2007, 20:39

Si je te dis décomposition en facteurs premiers, est-ce que cela t'aide ?

J'écrirais que ton nombre est de la forme : $p_1^{2\alpha_1+1}\times p_2^{2\alpha_2+1} \times \cdots p_n^{2\alpha_n+1}$ avec $p_i$ des nombres premiers supérieurs à $2$, (strictement !). Les puissances sont de la forme $2\alpha_I+1$ car ton nombre n'est pas un carré parfait, donc les exposants sont tous des nombres impairs.


On peut facilement montrer que c'est vrai pour $n=2$.

Et c'est (presque :D = la même preuve pour $n$ général, il faut bien se servir de la forme des exposants.
Olivier
rebouxo
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