[TS] Définition sur les limites

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[TS] Définition sur les limites

Messagepar seb7477 » Mercredi 13 Juin 2007, 20:33

Bonjour ,
J'aimerais s'il vous plait quelques éclaircissements sur les définitions de deux limtes :
1) $\lim_{x \rightarrow +\infty}\ f(x)=L$ : revient à dire que pour tout intervalle ouvert contenant L contient toutes les valeurs f( x) pour x assez grand .
Ma premiere question est la suivante :
Pourquoi doit - on utiliser des intervalles ouverts ? Est bien parceque si on prend un intervalle fermé et que L est une borne de l'intervalle (par exemple borne inferieure ) alors la limite n'existera pas car la limite à gauche n'existe pas .

2) $\lim_{x \rightarrow +\infty}\ f(x)=+\infty$ : revient à dire que pour tout intervalle de la forme ] A ; $+\infty$ [ contient toutes les valeurs f( x) pour x assez grand .

Deuxiéme question :
Il me semble que ,par contre, dans ce cas l'intervalle peut-être de la forme [A ; $+\infty$ [ car la limite est en $+\infty$ et non pas en A et donc il n'y a pas d'importance d'ouvrir ou de fermé l'intervalle en A . Ais je raison?

Merci pour vos réponses
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Messagepar Valvino » Mercredi 13 Juin 2007, 20:58

Je suis pas sûr à 100% de moi mais je pense qu'il est parfaitement équivalent de prendre des ouverts ou des fermés.
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Messagepar seb7477 » Mercredi 13 Juin 2007, 21:10

Valvino a écrit:Je suis pas sûr à 100% de moi mais je pense qu'il est parfaitement équivalent de prendre des ouverts ou des fermés.


Ah non je pense que pour la limite finie l'ouvert est primordiale !
seb7477
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Messagepar Valvino » Mercredi 13 Juin 2007, 21:15

Non j'ai parlé trop vite je vais regarder ca plus en détail.

Je pense que pour la limite finie si tu exclues le cas où la limite est borne du fermé ca doit marcher.

Sinon pour la limite infinie, effectivement ca change rien.
Valvino
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Messagepar Arnaud » Mercredi 13 Juin 2007, 21:21

1) Il faut que ce soit un ouvert, et c'est pas un problème de limite à gauche ( c'est quoi une limite à gauche en $+\infty$ ? ).
Comme tu dis, si $L$ est une borne de l'intervalle fermé, par exemple la première, alors il se peut que l'intervalle ne contienne pas les valeurs de $f$ inférieures à $L$.
Donc dans certains cas, l'intervalle fermé peut fonctionner ( par exemple $\dfrac{1}{x}$ et $[0;1]$ ), dans la généralité non.

2) C'est ok, ouvert ou fermé.
Arnaud

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Messagepar hollowdeadoss » Mercredi 13 Juin 2007, 21:27

Arnaud m'a devancé lol.
J'allais demander la même chose : une limite à gauche en l'infini ?

En tout cas bon courage pour demain ...
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Messagepar Tryphon » Jeudi 14 Juin 2007, 07:42

On peut remplacer "intervalle ouvert contenant $L$" par "intervalle fermé contenant strictement $L$" (càd que $L$ n'est pas une borne, ce qui est toujours le cas si $L$ est infini) et on le remplace même souvent, lorsque $L$ n'est pas infini, par "intervalle (fermé ou ouvert) centré en $L$" (càd de la forme $[L - \epsilon ; L + \epsilon]$ avec $\epsilon > 0$).

L'avantage de la dernière version est que tu n'as qu'à contrôler $\epsilon$ pour controler ton intervalle, alors que pour un intervalle général il faut en controler les deux bornes.
Pas de questions en MP
La calculatrice, c'est comme Linux, c'est de la merde !
Tryphon
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Messagepar seb7477 » Jeudi 14 Juin 2007, 19:35

Arnaud a écrit:1) Il faut que ce soit un ouvert, et c'est pas un problème de limite à gauche ( c'est quoi une limite à gauche en $+\infty$ ? ).
Comme tu dis, si $L$ est une borne de l'intervalle fermé, par exemple la première, alors il se peut que l'intervalle ne contienne pas les valeurs de $f$ inférieures à $L$.
Donc dans certains cas, l'intervalle fermé peut fonctionner ( par exemple $\dfrac{1}{x}$ et $[0;1]$ ), dans la généralité non.

2) C'est ok, ouvert ou fermé.


oui j'ai fais une confusion entre les x et les f(x) mdrrrrrrrr
Quand je parlais à gauche en fait c'était les valeurs inférieures de f(x) , comme tu l'expliques trés bien
Merci beaucoup
seb7477
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