[2nd] Coordonnées d'un point dans un plan

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[2nd] Coordonnées d'un point dans un plan

Messagepar Domeo » Mardi 24 Février 2009, 16:02

Bonjour, je suis nouveau sur ce forum et j'ai quelques problèmes à un exercice concernant les coordonnés d'un point dans un repère... :|

Voilà l'énoncé : :)
Soient un repère du plan (O, $\vec{i}$, $\vec{j}$), R un point de coordonnées (7 1) dans ce repère
$\vec{i'}$ = 2$\vec{i}$ - $\vec{j}$ et $\vec{j'}$ = 2$\vec{i}$ + $\vec{j}$


1) Démontrer que (O, $\vec{i'}$ , $\vec{j'}$) est un repère du plan
Là je crois savoir comment m'y prendre : (J'ai démontrer que les deux vecteurs ne sont pas colinéaires)

2) Connaissant les coordonnés de R dans (O, $\vec{i}$, $\vec{j}$), en déduire les coordonnés de R dans le repère (O, $\vec{i'}$ , $\vec{j'}$)
Là je bloque complètement, j'ai beau cherché pendant 4 heures (sans éxagération), je ne trouve pas...
J'ai pensé faire comme ça mais j'ai des doutes...

On nomme R' et R'' l'absisse et l'ordonnée de R dans le repère (O, $\vec{i'}$ , $\vec{j'}$ )
Nous savons que $\vec{OR}$ = $\vec{OR'}$ + $\vec{OR''}$
Donc, $\vec{OR}$ = x $\vec{i'}$ + y $\vec{j'}$

Puis, nous savons que dans (O, $\vec{i}$, $\vec{j}$), $\vec{OR}$ = 7$\vec{i}$ + $\vec{j}$

A partir de là je bloque... J'ai essayé de remplacer i' et j' par 2i + j et 2i - j, et de faire le système

{ x $\vec{i'}$ + y $\vec{j'}$ = 7$\vec{i}$
{ y $\vec{j'}$ = $\vec{j}$

Mais l'équation obtenue est quelque peu étrange ... :(


Et j'ai une impression qu'il faut utiliser la droite d'équation... mais je saurais pas dire comment.

Voilà, =/

Merci de votre aide d'avance et bonne journée :)
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Re: [2nd] Coordonnées d'un point dans un plan

Messagepar Jean-charles » Mardi 24 Février 2009, 16:50

Bonjour
Tu as écris $\vect{OR}=x\vect{i'}+y\vect{j'}$.
Dans cette expression tu remplaces $\vect{i'}$ et $\vect{j'}$ en fonction de $\vect{i}$ et $\vect{j}$.
Tu arranges pour avoir $\vect{OR}=\ldots \vect{i}+\ldots\vect{j}$ puis tu conclues...
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Re: [2nd] Coordonnées d'un point dans un plan

Messagepar Domeo » Mardi 24 Février 2009, 17:01

Bonjour ! Merci pour votre rapide réponse !

J'ai donc fait comme vous avez dit, mais ça donne ceci :

OR = x (2i - j) + y (2i+j)
OR = 2xi - xj + 2iy + yj
OR = 2i (x + y) - j (y - x)

et qu'est ce que je fais après? =/
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Re: [2nd] Coordonnées d'un point dans un plan

Messagepar Jean-charles » Mardi 24 Février 2009, 17:08

Domeo a écrit:OR = 2i (x + y) - j (y - x)

Il y a une erreur de signe...
Ensuite tu connais les coordonnées de $R$ dans le premmier repère et tu utilises le fait que les coordonnées dans un repère sont uniques: tu peux en déduire un système dinconnues $x$ et $y$.
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Re: [2nd] Coordonnées d'un point dans un plan

Messagepar Domeo » Mardi 24 Février 2009, 17:30

Ah ! en effet, ça donne
OR = 2i (x+y) - j (x-y)
Ensuite, pour le système, je n'ai pas compris pourquoi les coordonnés uniques dans un repère joue un rôle?

Est ce que le système est le suivant :

2i (x+y) = 7i
-j (x - y) = 1j

?

Merci encore =)
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Re: [2nd] Coordonnées d'un point dans un plan

Messagepar Jean-charles » Mardi 24 Février 2009, 17:43

Domeo a écrit:OR = 2i (x+y) - j (x-y)

Donc les coordonnées de $R$ dans le premier repère sont $(2(x+y) ; -x+y))$ et aussi $(7 ; 1)$
Donc on a
Domeo a écrit:2i (x+y) = 7i
-j (x + y) = 1j

Que l'on peut écrire sans les vecteurs...
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Re: [2nd] Coordonnées d'un point dans un plan

Messagepar Domeo » Mardi 24 Février 2009, 19:00

Ah ! J'ai trouvé ! Merci encore ! Bonne journée ! :P

Edit : y = 2.25 et x = 1.25 :?: :)

Edit 2 : Ensuite, je connais les coordonnés dans le deuxième repère et je dois les trouver dans le premier, c'est exactement la même chose non? =)
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Re: [2nd] Coordonnées d'un point dans un plan

Messagepar Jean-charles » Mardi 24 Février 2009, 19:07

Tes valeurs sont correctes.
Pour la deuxième question, c'est le même principe en partant des coordonnées dans le deuxième repère mais ce sera plus simple: tu n'auras pas de système à résoudre.
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Re: [2nd] Coordonnées d'un point dans un plan

Messagepar Domeo » Mardi 24 Février 2009, 19:15

D'accord ! Merci :D
Il faut donc remplacer
i par $\frac{i' + j}{2} $
et j par j' - 2i ?
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Re: [2nd] Coordonnées d'un point dans un plan

Messagepar Jean-charles » Mardi 24 Février 2009, 19:24

Domeo a écrit:Il faut donc remplacer
i par $\frac{i' + j}{2} $
et j par j' - 2i ?

Non tu pars de ton égalité vectorielle avec $\vect{i'}$ et $\vect{j'}$.
Puis tu remplaces en fonction de $\vect{i}$ et $\vect{j}$.
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Re: [2nd] Coordonnées d'un point dans un plan

Messagepar Domeo » Mardi 24 Février 2009, 19:37

Excusez moi, je ne comprends pas :|
$\vec{i'}$ = 2$\vec{i}$ - $\vec{j}$ et $\vec{j'}$ = 2$\vec{i}$ + $\vec{j}$, ces deux égalités vectorielles sont déjà exprimés en fonction de i et j non? :o
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Re: [2nd] Coordonnées d'un point dans un plan

Messagepar Jean-charles » Mardi 24 Février 2009, 19:57

Des coordonnées connues de ton point dans le repère $(O,\vect{i'} ;\vect{j'})$:
1) Tu écris la relation vectorielle correspondante.
2) Tu remplaces $\vect{i'}$ et $\vect{j'}$ en fonction de $\vect{i}$ et $\vect{j}$.
3) Tu réduit pour obtenir $\vect{OM}=\ldots \vect{i}+\ldots\vect{j}$.
4) Tu en déduis les coordonnées dans le repère $(O,\vect{i} ;\vect{j})$.
Dernière édition par Jean-charles le Mercredi 25 Février 2009, 15:36, édité 1 fois.
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Re: [2nd] Coordonnées d'un point dans un plan

Messagepar Domeo » Mercredi 25 Février 2009, 13:44

Pourquoi n'y ai-je pas pensé plus tôt :roll: ?
Merci :) et Bonne journée :)
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