Coordonnée d'un point dans un plan, repère cartésien

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Coordonnée d'un point dans un plan, repère cartésien

Messagepar Hagane » Dimanche 11 Mars 2007, 16:52

Bonjour, j'ai un exercice à rendre pour mercredi et j'ai quelques problèmes....

ABCDEFGH est un cube. Soit $(A; \vect{AB}, \vect{AD}; \vect{AE})$ un repère orthonormal de l'espace.
$K$ est le point tel que $\vect{FK}= 3/4 \vect{FG}$ et $R$ est le point d'intersection des droites $(EG)$ et $(KH)$.

1) Démontrer que $(E;\vect{AB}; \vect{AD})$ est un repère de plan $(EFH)$.

=> Là c'est bon je sais comment m'y prendre.

2) Quelles sont les coordonnées du point $R$ dans le repère $(E;\vect{AB};\vect{AD})$. En déduire les coordonnées de $R$ dans le repère $(A; \vect{AB}, \vect{AD}; \vect{AE})$.

=>Ici, je ne sais vraiment pas... Dois-je utiliser la colinéarité, pythagore, thalès ou le fait que $\vect{ER}= x \vect{AB}+ y \vect{AD}$ ?
Ou autre chose.... là je bloque vraiment...
Et même avec ce que je pense utiliser dans ce que j'ai cité, je ne sais pas comment m'y prendre ici....

3) $I$ est le milieu de $[CD]$ et $J$ celui de $[CG]$. Les droites $(GI)$ et $(JH)$ se coupent en $S$. déterminer les coordonnées de $S$ dans le repère $(D; \vect{AB}; \vect{AE})$ du plan $(CDG)$, puis dans le repère $(A; \vect{AB}, \vect{AD}; \vect{AE})$.

=>Là, c'est sûrement la même méthode que dans la question 2 ...

4) en déduire la longueur $RS$.
=> Là, c'est simple, il faut appliquer la formule avec les coordonnées de $R$ et $S$ ...

Voilà, c'est surtout pour la question 2 de l'exercice 2 (la 3 étant identique) que j'aurai besoin de conseil....

Merci d'avance pour votre aide!

[Edit: MB] LaTeX. Ne pas multiplier les dollars !
Dernière édition par Hagane le Dimanche 11 Mars 2007, 17:25, édité 1 fois.
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Messagepar kojak » Dimanche 11 Mars 2007, 17:15

bonjour,
Je ne suis pas sur que le repère que tu nous donne fasse un repère de l'espace...
Ou sinon le cube ne s'appelle pas ABCDEFGH
Dernière édition par kojak le Dimanche 11 Mars 2007, 17:28, édité 1 fois.
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Messagepar Hagane » Dimanche 11 Mars 2007, 17:24

c'est vrai, je me suis trompée en recopiant.
le repère est en réalité (A; $\vect{AB}$, $\vect{AD}$; $\vect{AE}$)

Je vais modifier l'énoncé principal...
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Messagepar kojak » Dimanche 11 Mars 2007, 17:27

OK, ça roule..
Pour la 2) il faut faire la troisième proposition $\vect{ER}=x\vect{AB}+y\vect{AD}$
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Messagepar Hagane » Dimanche 11 Mars 2007, 18:15

d'accord...
Donc, il faut arriver à une expression de $\vect{ER}$ en fonction de $\vect{AB}$ et $\vect{AD}$.

j'ai essayé de cette façon:
$\vect{ER}$= $\vect{EB}$+$\vect{BR}$
d'où $\vect{ER}$= $\vect{AB}$+$\vect{BR}$
d'où $\vect{ER}$= $\vect{AB}$+$\vect{BK}$+$\vect{KR}$
d'où $\vect{ER}$= $\vect{AB}$+$\vect{3/4AD}$+$\vect{KR}$
Mais ensuite, j'ai l'impression de tourné en rond....
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Messagepar kojak » Dimanche 11 Mars 2007, 18:17

C'est immédiat...
Remplace $\vect{AB}$ et $\vect{AD}$ par des vecteurs dans le "plan" $EFG$
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Messagepar Hagane » Dimanche 11 Mars 2007, 18:53

Dans le plan EFG, je peux remplacer $\vect{AB}$ par $\vect{EF}$ et $\vect{AD}$ par $\vect{FG}$.

mais après, $\vect{ER}$ donnera quand même $\vect{EF}$+$\vect{FR}$. et ce dernier il faudra que je le décompose en fonction d'autres vecteurs, non?

je crois que pour cet exercice, je chercher vraiment des trucs impossibles....
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Messagepar kojak » Dimanche 11 Mars 2007, 19:51

Sinon, c'est peut être plus simple de déterminer directement les coordonnées de $R$ en déterminant une équation des droites $(EG)$ et $(KH)$ dans le repère $(E,\vect{EF},\vect{EH})$ donc tu as sans problème les coordonnées de tous les points et donc tu peux déterminer les équations de droites. Pour $(EG)$, c'est immédiat...
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Messagepar Hagane » Dimanche 11 Mars 2007, 20:26

D'accord...
Alors $\vect{EG}$ a pour coordonnée (1;1), mais la droite (EG) a aussi pour équation en tant que fonction est 1x+ soit x
le vecteur $\vect{KH}$ a pour coordonnée (-1: 1/4), et la droite (HK) a pour équation -1/4x+1 ou la droite (KH) a pour équation 1/4x+3/4

c'est çà?

Si c'est ça, comment je peux continuer après?
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Messagepar kojak » Lundi 12 Mars 2007, 08:02

Pour info, il me semble qu'une équation de droite commence par $y=\ldots$, non ?

Et bien une fois que tu as tes équations de droites, il suffit de chercher les coordonnées du point d'intersection, et donc que faut il faire ?
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Messagepar Hagane » Lundi 12 Mars 2007, 16:55

oui c'est vrai...

Sinon, en cherchant ce matin dans des exercices, j'ai vu quelque chose dans un exercice de statistique dont la méthode pourrait fonctionner.

Il faudrait faire

$$\dfrac{ Yr - Yg }{ Xr - Xg } = \dfrac{ Ye - Yg }{ Xe - Xg }$$


puis

$$\dfrac{ Yr - Yh }{ Xr - Xh } = \dfrac{ Yk - Yh }{ Xk - Xh }$$


et cela aboutirait à un système.
Est ce que c'est possible de faire comme ça?
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Messagepar kojak » Lundi 12 Mars 2007, 18:29

En lisant en diagonale ça revient à chercher une équation de droite..
Toi, tu as déjà fait le plus gros : tu as une droite d'équation $y=x$ et l'autre d'équation $y=1-\dfrac{1}{4}x$ et tu cherches le point d'intersection... Ca ne devrait pas être trop difficile : tu y es presque.. tu brûles :P
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Messagepar Hagane » Lundi 12 Mars 2007, 21:51

Avec les équations de droites, je peux faire un système du style
$y = x$
$y = 1 -$ $\dfrac{1}{4}$ $x$

après, je remplace y par x dans la deuxième et au final, je trouve $\dfrac{4}{5}$ $= x$

Je fais comme ça pour tous les autres et puis c'est finit?
Merci beaucoup en tout cas!
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Messagepar kojak » Mardi 13 Mars 2007, 12:57

Hagane a écrit:Je fais comme ça pour tous les autres et puis c'est finit?
Merci beaucoup en tout cas!
Presque, il ne faut pas oublier $y$...
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