Continuité et point fixe

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Lycée.

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Continuité et point fixe

Messagepar cricrilivia » Samedi 03 Décembre 2011, 16:38

Bonjour

J'ai un exercice que je ne sais pas résoudre

f est une fonction continue définie sur $I=0;1$ telle que pour tout $x$ de $I$, $f(x)$ appartient à $I$.
Démontrer qu'il existe au moins un réel $a$ de $I$ tel que $f(a)=a$

J'ai pensé utiliser le théorème des valeurs intermédiaires
C'est à dire : $f$ est continue sur $I$ de plus

$$\ds\lim_{x \rightarrow 0}f(x)=f(0)$$

et

$$\ds\lim_{x \rightarrow 0}f(x)=f(1)$$

donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires il existe au moins un réel $a$ de $I$ tel que $f(a)$ appartient à $J=f(0);f(1)$

Par contre je ne sais pas comment prouver que $f(a)=a$, je sais que cela s'appelle un point fixe mais je ne sais pas comment faire

Merci de m'aider
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Re: Continuité et point fixe

Messagepar guiguiche » Samedi 03 Décembre 2011, 16:43

Bonne idée que d'utiliser le théorème des valeurs intermédiaires mais non pas avec f mais avec $x\mapsto f(x)-x$.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
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Re: Continuité et point fixe

Messagepar cricrilivia » Samedi 03 Décembre 2011, 17:49

Si j'ai bien compris, on pose $g(x)=f(x)-x$
donc

$$\ds\lim_{x \rightarrow 0}g(x)=f(0)$$

et

$$\ds\lim_{x \rightarrow 1}g(x)=f(1)-1$$

donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires il existe au moins un réel $a$ appartenant à $I$ tel que $g(a)=f(a)-a$ appartient à $J$

mais je n'ai toujours pas démontré que $f(a)=a$, je suppose qu'il faut démontrer que $g(a)=0$ mais je n'ai pas d'idée
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Re: Continuité et point fixe

Messagepar guiguiche » Samedi 03 Décembre 2011, 17:52

Compare g(0) et g(1) avec 0.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
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Re: Continuité et point fixe

Messagepar cricrilivia » Samedi 03 Décembre 2011, 18:01

Je peux dire
cherchons $g(0)<0$ ce qui équivaut à $f(0)-0<0$ ce qui équivaut à $f(0)<0$
et $g(1)<0$ ce qui équivaut à $f(1)-1<0$ ce qui équivaut à $f(1)<1$
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Re: Continuité et point fixe

Messagepar cricrilivia » Samedi 03 Décembre 2011, 18:17

par contre je ne sais pas conclure
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Re: Continuité et point fixe

Messagepar guiguiche » Samedi 03 Décembre 2011, 18:22

Tu ne compare pas vraiment ! Finalement, a-t-on g(0)<0 ? g(1)<0 ?
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Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
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Re: Continuité et point fixe

Messagepar cricrilivia » Samedi 03 Décembre 2011, 18:53

pour comparer il faut faire $g(0)-0$, c'est ça?

l'idéal serait que $g(0)>0$ et que $g(1)<1$
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Re: Continuité et point fixe

Messagepar cricrilivia » Samedi 03 Décembre 2011, 19:54

je suis bloqué
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Re: Continuité et point fixe

Messagepar kojak » Samedi 03 Décembre 2011, 20:11

Bonsoir,

cricrilivia a écrit:
l'idéal serait que $g(0)>0$ et que $g(1)<1$


Presque : $g(1) \leq 0$ plutôt : Peux tu déterminer dans quel intervalle est $g(0)$, ainsi que $g(1)=f(1)-1$ ?

PS : ne pas oublier que $I=[0,1]$
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Re: Continuité et point fixe

Messagepar cricrilivia » Samedi 03 Décembre 2011, 20:21

Comme on ne sait pas so f est croissante ou décroissante on ne peut pas savoir si l'intervalle image est $J=f(0);f(1)$ ou si $J=f(1);f(0)$
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Re: Continuité et point fixe

Messagepar kojak » Samedi 03 Décembre 2011, 20:25

cricrilivia a écrit:Comme on ne sait pas so f est croissante ou décroissante on ne peut pas savoir si l'intervalle image est $J=f(0);f(1)$ ou si $J=f(1);f(0)$
peu importe : tu sais que $J$ est inclus dans $I$ car on te dit
pour tout $x$ de $I$, $f(x)$ appartient à $I$.


De plus, ta fonction n'est pas forcément monotone, seulement continue.
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Re: Continuité et point fixe

Messagepar cricrilivia » Samedi 03 Décembre 2011, 21:13

donc $a$ appartient à $I$ et $f(a)$ appartient à $I$
je sais que

$$\ds\lim_{x \rightarrow 0}g(x)=f(0)$$

et que $0 \le f(x)<1$ de plus

$$\ds\lim_{x \rightarrow 1}g(1)=f(1)-1$$

et que $0 \le f(1)-1<1$ c'est à dire $1 \le f(1)<2$

C'est ça ?
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Re: Continuité et point fixe

Messagepar kojak » Samedi 03 Décembre 2011, 21:39

cricrilivia a écrit:je sais que

$$\ds\lim_{x \rightarrow 0}g(x)=f(0)$$

ce n'est pas une limite mais $g(0)=f(0)$.

cricrilivia a écrit: et que $0 \le f(x)<1$


Oui

cricrilivia a écrit:de plus

$$\ds\lim_{x \rightarrow 1}g(1)=f(1)-1$$

Idem ! ce n'est pas une limite, c'est $g(1)=f(1)-1$.

cricrilivia a écrit:et que $0 \le f(1)-1<1$
tu tires ça de où ? sachant
cricrilivia a écrit: que $0 \le f(x)<1$


Ps : ton intervalle est $I=[0,1]$ ou ouvert en $1$ : $I=[0,1[$ ?
pas d'aide par MP
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Re: Continuité et point fixe

Messagepar cricrilivia » Samedi 03 Décembre 2011, 21:58

Non effectivement l'intervalle est fermé des deux cotés,
j'ai écrit que $0 \le f(1)-1 \le 1$ car $f(x)$ appartient à $I$ ce n'est pas juste?
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Re: Continuité et point fixe

Messagepar cricrilivia » Samedi 03 Décembre 2011, 22:02

oui en fait $0 \le f(1) \le 1$ donc $-1 \le f(1)-1 \le 0$ donc $g(1)<0$
donc il existe bien un réel $a$ appartenant à $I$ tel $g(a)=0$ c'est à dire $f(a)-a=a$ c'est à dire $f(a)=a$
C'est ça?
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Re: Continuité et point fixe

Messagepar cricrilivia » Samedi 03 Décembre 2011, 22:09

pardon $f(a)-a=0$ donc $f(a)=a$
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Re: Continuité et point fixe

Messagepar cricrilivia » Samedi 03 Décembre 2011, 22:24

Merci pour tous ces conseils
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Re: Continuité et point fixe

Messagepar kojak » Dimanche 04 Décembre 2011, 14:44

cricrilivia a écrit:oui en fait $0 \le f(1) \le 1$ donc $-1 \le f(1)-1 \le 0$


Oui
cricrilivia a écrit: donc $g(1)<0$
Non, pas strictement mais $g(1)\leq 0$

cricrilivia a écrit:donc il existe bien un réel $a$ appartenant à $I$ tel $g(a)=0$ c'est à dire $f(a)-a=a$ c'est à dire $f(a)=a$
C'est ça?
Oui.
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