[Term] Calcul de limite

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[Term] Calcul de limite

Messagepar themoskito » Lundi 27 Août 2007, 07:42

bonjour, j'aimerais savoir s'il est possible, au niveau terminale de calculer cette limite en $0$ :

$$\dfrac{x-\sin(x)}{x^3}$$



Je sais comment trouver ce résultat à l'aide d'un DL, mais on ne connait pas les DL en terminale.
Je ne suis pas sur que ce soit du niveau terminale, qu'en pensez-vous ?
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Re: [term] calcul de limite

Messagepar guiguiche » Lundi 27 Août 2007, 08:18

Par des encadrements à l'aide d'intégrations successives, en partant de :
$0\le\cos(t)\le1$ sur $[0,x]$ avec $x\in[-\pi/2,\pi/2]$
on obtient le début du DL à l'ordre 5 et le théorème des gendarmes permet de conclure.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
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Re: [term] calcul de limite

Messagepar Valvino » Lundi 27 Août 2007, 09:01

Les développements limités ne sont pas au programme de la Tle S en France, c'est bien dommage et ca oblige à bidouiller pour pouvoir trouver des limites...

Il doit y avoir un moyen de le faire sans, je vais essayer de regarder ca :wink:
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Re: [term] calcul de limite

Messagepar Arnaud » Lundi 27 Août 2007, 11:15

Valvino a écrit:Les développements limités ne sont pas au programme de la Tle S en France, c'est bien dommage et ca oblige à bidouiller pour pouvoir trouver des limites...


Petite correction : ils apprennent quand même à approcher une courbe avec un polynôme de degré 1 ;)
Alors Valvino, futur prof ? :D
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Re: [Term] Calcul de limite

Messagepar François D. » Lundi 27 Août 2007, 13:36

À première vue, s'il faut faire ça en Terminale S, je dirais que la limite demandée est celle de $\dfrac{x}{x^3}-\dfrac{\sin x}{x}=\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{\sin x}{x}$ (pour $x \neq 0$) ; sachant qu'on peut aisément voir $\displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{\sin x}{x}$ comme un nombre dérivé et que $\displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{1}{x}$ est connu, ça devrait aller...
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Re: [Term] Calcul de limite

Messagepar guiguiche » Lundi 27 Août 2007, 13:55

François D. a écrit:À première vue, s'il faut faire ça en Terminale S, je dirais que la limite demandée est celle de $\dfrac{x}{x^3}-\dfrac{\sin x}{x}=\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{\sin x}{x}$ (pour $x \neq 0$) ; sachant qu'on peut aisément voir $\displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{\sin x}{x}$ comme un nombre dérivé et que $\displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{1}{x}$ est connu, ça devrait aller...

Heu, c'est $\dfrac{\sin(x)}{x^3}$ (il te manque le cube) donc différence de deux infinis.
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Re: [Term] Calcul de limite

Messagepar Joubine » Lundi 27 Août 2007, 15:46

Bonjour,
Déja simplifie l'expression pour faire apparaitre une limite connue ici tu peux diviser en haut et en bas par $x$ puis utiliser la limite connue $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}=1$.
Ca devrait pas poser trop de problèmes
test?
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Re: [Term] Calcul de limite

Messagepar kojak » Lundi 27 Août 2007, 15:47

Joubine a écrit:Ca devrait pas poser trop de problèmes
à une forme indéterminée près :roll:
pas d'aide par MP
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Re: [Term] Calcul de limite

Messagepar Joubine » Lundi 27 Août 2007, 16:02

kojak a écrit:
Joubine a écrit:Ca devrait pas poser trop de problèmes
à une forme indéterminée près :roll:


Argh j'ai pris le cube pour un carré, mea culpa :oops:
test?
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Re: [Term] Calcul de limite

Messagepar kojak » Lundi 27 Août 2007, 16:05

Joubine a écrit:
Argh j'ai pris le cube pour un carré, mea culpa :oops:
sinon, t'a modifié ton message car sur le premier, il y en avait une belle $+\infty-\infty$ :roll:
pas d'aide par MP
kojak
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Re: [Term] Calcul de limite

Messagepar OG » Mardi 28 Août 2007, 07:54

Bonjour

je ne sais pas ce qui se fait en Terminale S même si je devrais le savoir
(personnellement fin 80 je n'avais pas fait les D.L. non plus).
Si on peut faire de l'accroissement fini ou du Rolle alors on peut
faire la version de Rolle avec $f$ et $g$ et donc faire deux fois L'Hopital
pour obtenir la dite limite. Entre temps on a perdu 99% des élèves ?
Cordialement
O.G.
OG
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Re: [Term] Calcul de limite

Messagepar guiguiche » Mardi 28 Août 2007, 08:39

OG a écrit:Entre temps on a perdu 99% des élèves ?

99,9% même. Le TAF n'est plus au programme de TS et Rolle n'y a jamais figuré à ma connaissance (c'est à dire de 1986 à maintenant).
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Re: [Term] Calcul de limite

Messagepar François D. » Mardi 28 Août 2007, 10:03

Oui, je me suis précipité :oops: ... Bon, je crois que je vais devoir faire attention à profiter au mieux des derniers jours de repos :?
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Re: [Term] Calcul de limite

Messagepar OG » Mardi 28 Août 2007, 10:35

guiguiche a écrit:
OG a écrit:Entre temps on a perdu 99% des élèves ?

99,9% même. Le TAF n'est plus au programme de TS et Rolle n'y a jamais figuré à ma connaissance (c'est à dire de 1986 à maintenant).


Pour Rolle je me doutais bien mais je ne savais pas que le TAF n'était plus au programme.
Je comprends "mieux" mes étudiants !
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Re: [Term] Calcul de limite

Messagepar Valvino » Mardi 28 Août 2007, 12:51

Pour l'ancienne terminale S, il y avait le TAF mais pas Roll?

Pourtant le TAF est clairement un corolaire de Roll, d'ailleurs il est indispensable dans la démonstration que je connais, après il y a peut être d'autres voies...
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Re: [Term] Calcul de limite

Messagepar guiguiche » Mardi 28 Août 2007, 12:54

Valvino a écrit:Pourtant le TAF est clairement un corolaire de Roll, d'ailleurs il est indispensable dans la démonstration que je connais, après il y a peut être d'autres voies...

Depuis quand démontre-t-on vraiment les différents résultats en terminale ? :roll: D'ailleurs, une bonne intégration remplace avantageusement le TAF à ce niveau.
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Re: [Term] Calcul de limite

Messagepar Valvino » Mardi 28 Août 2007, 13:04

Effectivement vu comme ca :lol:

Mais l'ancienne terminale C est tellement vénérée par les anciens que je pensais qu'il y avait une rigueur dans les démonstrations, mais je me trompais. :D
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Re: [Term] Calcul de limite

Messagepar guiguiche » Mardi 28 Août 2007, 13:06

Valvino a écrit:Mais l'ancienne terminale C est tellement vénérée par les anciens que je pensais qu'il y avait une rigueur dans les démonstrations, mais je me trompais. :D

Je me suis mal exprimé. Dans l'ancienne TC, on effectuait des démonstrations, chose que l'on ne fait pour ainsi plus maintenant. Pour le TAF, il faudrait que je regarde mes cours de l'époque pour voir ce qu'il en est de la démo.
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Re: [Term] Calcul de limite

Messagepar OG » Mardi 28 Août 2007, 13:15

Valvino a écrit:Mais l'ancienne terminale C est tellement vénérée par les anciens que je pensais qu'il y avait une rigueur dans les démonstrations, mais je me trompais. :D


Et il y a plusieurs "anciennes TC" ! personnellement c'était après 1986.
O.G.

Edit : 1987/1988
Dernière édition par OG le Mardi 28 Août 2007, 13:20, édité 1 fois.
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Re: [Term] Calcul de limite

Messagepar guiguiche » Mardi 28 Août 2007, 13:19

OG a écrit:Et il y a plusieurs "anciennes TC" ! personnellement c'était après 1986.

Oui, il y a avant 1984 (je crois) et après. Perso, c'est 86/87.
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