Besoin d'aide sur 2 suites et lim. de convergence

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Lycée.

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Besoin d'aide sur 2 suites et lim. de convergence

Messagepar méridien » Mardi 21 Novembre 2006, 09:48

Bonjour,
Quelqu'un aurait la possibilité de me dépanner sur ces exercices.
Grand merci

$\ds\lim_{n\to+\infty}{u_n}$ pour $u_n=\dfrac{3^{n+1}-4^{n+2}}{3^{n-1}-4^n}$
lim Un=[(1/2)^n-(3/2)^n]/[1/2)^n+(3/2)^n]

I)
$u_0=\dfrac{\pi}{3}$
$u_{n+1}=\sin(u_n)$
1° démontrer que pour x>=0 sinx - x <= 0 (étude de f(x)=sinx - x sur R)
2° démontrer par récurrence que pour tout n entier Un appartient [0;pi/2]
3° en déduire suite Un converge
4° à l'aide de 1° démontrer f(x)=0 admet unique solution sur [0;pi/2]
5° en déduire lim Un qd n tend vers infini

II)
$u_{n+1}=u_n^2+u_n$
1° démontrer suite Un est croissante
2° démontrer si Un converge alors lim Un=0 qd n tend vers+infini
3° démontrer si Uo^2+Uo>0 alors Un diverge
4° démontrer par récurence si Uo^2+U0<0 alors -1<Un<0 et conclure sur convergence de la suite Un

[edit guiguiche :
1. mise en forme latex. Merci de poursuivre la mise en forme en éditant le message et en regardant ce qui a déjà été modifié.
2. trois exercices donc trois topics]
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Re: Besoin d'aide sur 2 suites et lim. de convergenc

Messagepar guiguiche » Mardi 21 Novembre 2006, 10:47

méridien a écrit:Bonjour

Bonjour.

méridien a écrit:Quelqu'un aurait la possibilité de me dépanner sur ces exercices.
Grand merci

Oui, de rien.

A part çà, qu'as-tu fait ? Qu'est-ce qui te pose difficulté ?

Nous ne sommes pas des machines à faire les exos des autres donc tu dis ce que tu as fait et on corrige. S'il y a un blocage que tu explicites clairement, on te donnera des pistes. Mais personne ne donnera de solutions détaillées toutes faites.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
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Messagepar méridien » Mardi 21 Novembre 2006, 11:08

Bonjour et merci,
pour la 1ère limite j'ai décomposé
3^n+1=3^n x 3
4^n+2=4^n x 4^2
3^n-1= 3^n x 3^(-1)
pour ensuite x num&dénom par 4^-n

même principe pour deuxième suite
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Messagepar guiguiche » Mardi 21 Novembre 2006, 11:11

méridien a écrit:Bonjour et merci,
pour la 1ère limite j'ai décomposé
3^n+1=3^n x 3
4^n+2=4^n x 4^2
3^n-1= 3^n x 3^(-1)
pour ensuite x num&dénom par 4^-n

même principe pour deuxième suite

C'est une bonne idée. Qu'as-tu obtenu ?
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
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Messagepar méridien » Mardi 21 Novembre 2006, 11:54

si je met en facteur 4^n num& dénom :
4^n[3^n+1/4^n - 4^2]/4^n[3^n-1/4^n - 1]
qd n tend vers +infini il me reste -4^2/-1 soit 16??
même idée pour la seconde, je trouve -1??

merci
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Messagepar kojak » Mardi 21 Novembre 2006, 12:53

méridien a écrit:si je met en facteur 4^n num& dénom :
4^n[3^n+1/4^n - 4^2]/4^n[3^n-1/4^n - 1]

Es tu sur de ta factorisation ?
Conseil : développe ton expression pour voir si tu retrouves bien l'expression initiale....
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Messagepar méridien » Mardi 21 Novembre 2006, 14:00

bonjour kojak,
oui car je ne mets en facteur que 4^n???
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Messagepar kojak » Mardi 21 Novembre 2006, 17:11

Re bonjour Meridien,
Si je reprends ton numérateur en code Latex :
$4^n\left[3^n+\dfrac{1}{4^n}-4^2\right]$ et que je développe, il me semble pas que ca donne $3^{n+1}-4^{n+2}$...
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Messagepar méridien » Mardi 21 Novembre 2006, 22:21

non kojak, mon écriture est maladroite mais bonne je pense :

si je met en facteur 4^n num& dénom :
4^n[[3^(n+1)/4^n] - 4^2]/4^n[[3^(n-1)/4^n] - 1]
qd n tend vers +infini il me reste -4^2/-1 soit 16??

et cela fait bien 16

J'en suis en I) 4° et bloque??

[edit guiguiche : tu veux pas essayer un peu le latex ? (non, je ne suis pas un pervers) :lol: ]
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Messagepar guiguiche » Mardi 21 Novembre 2006, 22:41

méridien a écrit:J'en suis en I) 4° et bloque??

Tu es sûr de ton intervalle ?
Tu as étudié les variations de f. Cela ne devrait pas poser trop de problème normalement.
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Messagepar méridien » Mercredi 22 Novembre 2006, 09:26

oui suis sûr de mon interval
je propose

1)sinx - x<0
si x>1 sinx - x<0 car sinx<1
si 0<x<1 f(x)=sinx - x f'(x)=cosx - 1
f'(x)=0 pour x=0 f' est décroiss sur [0;1]
f(1)=sin1 - 1<0
donc f<0 d'ou sinx - x<0

2) 0<Un<pi/2 vrai pour n=0
on suppose vrai pour n te montrons pour n+1
0<Un<pi/2 et comme sin est croiss sur [0;pi/2] on a sin0<sinUn<sin pi/2
donc 0<Un+1<1<pi/2 d'ou c'est vrai pour tout n

3) Un est bornée et décroiss car Un+1 - Un=sinUn - Un<0 d'après 1 donc Un converge

4) f(x)=0 admet 0 comme sol etcomme f décroiss d'après 1) donc admet 1 seule sol

5) limUn??
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Messagepar guiguiche » Mercredi 22 Novembre 2006, 11:17

méridien a écrit:oui suis sûr de mon intervalle
je propose

1)sinx - x<0
si x>1 sinx - x<0 car sinx<1
si 0<x<1 f(x)=sinx - x f'(x)=cosx - 1
f'(x)=0 pour x=0 f' est décroiss sur [0;1]
f(1)=sin1 - 1<0
donc f<0 d'ou sinx - x<0

2) 0<Un<pi/2 vrai pour n=0
on suppose vrai pour n te montrons pour n+1
0<Un<pi/2 et comme sin est croiss sur [0;pi/2] on a sin0<sinUn<sin pi/2
donc 0<Un+1<1<pi/2 d'ou c'est vrai pour tout n

3) Un est bornée et décroiss car Un+1 - Un=sinUn - Un<0 d'après 1 donc Un converge

4) f(x)=0 admet 0 comme sol etcomme f décroiss d'après 1) donc admet 1 seule sol

Bien

méridien a écrit:5) limUn??

Notons $\ell$ la limite de la suite $(u_n)$ (cette limite existe d'après ce que tu as dit précédemment.
Que peut-on dire de $f(\ell)$ ?
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Messagepar méridien » Mercredi 22 Novembre 2006, 14:13

OK
si Un converge vers L
limUn=L =limUn+1
n-->+infini

comme sin continue on peut dire
lim sinUn=sinL et donc L=sinL
n-->+infini

L solution de f(x)=0 : cette équation n'a qu'1 sol : L=0

correct??
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Messagepar guiguiche » Mercredi 22 Novembre 2006, 14:36

Oui car on connaît un encadrement de $\ell$.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
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Messagepar méridien » Mercredi 22 Novembre 2006, 14:49

OK merci pour l'aide

Pour II), je pars sur même principe (x2+x ??)
Aide possible sur cet exercice
grand merci d'avance
méridien
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Messagepar kojak » Mercredi 22 Novembre 2006, 17:03

Re bonjour meridien,
Je ne ferais pas comme tu proposes : pour le II, ca veut dire quoi qu'une suite est croissante ?...
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