arithmétique

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arithmétique

Messagepar paspythagore » Samedi 02 Mars 2013, 16:46

Bonjour,

je ne sais plus comment on démontre les deux résultats suivants ;
Soit $p$ un nombre premier, $a$ et $b$ deux entiers relatifs.
1) Montrer que si un nombre premier $c$ divise $ ab$ alors $c$ divise $a$ ou $b$
2) Démontrer que $ab\equiv0(p)$ ssi $a\equiv 0(p)$ ou $b\equiv 0(p)$


Le 1) se fait avec les ppcm ? et le 2) se démontre avec le 1) : $p|ab\Longleftrightarrow p|a\text{ ou }p|b$ ?
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Re: arithmétique

Messagepar cpo » Samedi 02 Mars 2013, 17:14

Bonjour,

Soit $c$ un nombre premier diviseur du produit $ab$. Soit $p$ le pgcd (positif) de $a$ et $c$. Ce pgcd divise $c$ (par définition). Comme $c$ est premier, on a soit $p = 1$ soit $p = c$.

Dans le second cas, on a $c$ divise $a$ (par définition du pgcd).

Dans le premier cas, on a (Bézout) deux entiers $u$ et $v$ tels que $ua+vc=1$. En multipliant par $b$ on obtient $uab+vcb=b$. Donc $c$ divise $b$.
cpo
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Re: arithmétique

Messagepar paspythagore » Samedi 02 Mars 2013, 20:35

OK, merci.
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