[TS] Arithmétique

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Lycée.

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[TS] Arithmétique

Messagepar anyone » Mardi 17 Octobre 2006, 21:05

Bonsoir !

J'ai un exo en arithmétique, le problème c'est que je ne comprends rien ! j'aurais besoin d'un peu d'aide svp, de quelques pistes..

Soit p un nombre premier supérieur ou égal à 5 :

1) Montrer qu'il est de la forme 6n+1 ou 6n+5, où n est un entier naturel

2) En raisonnant par disjonction des cas, montrer que pour tout nombre premier au moins égal à 5 ; (p²-1) est divisible par 24

Merci beaucoup !

a++
anyone
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Messagepar rebouxo » Mardi 17 Octobre 2006, 21:17

1. Tu raisonnes modulo 6 (je ne sais plus si c'est au programme de TS)
L'idée est d'écrire les nombres en les divisants par $6$. Tu as $6$ cas :
- Ils sont divisibles par $6$ alors on peut les écrire sous la forme $6n$ ;
- le reste est 1 dans la division par $6$, on peut les écrire $6n+1$ ;
- le reste est 2 ...
- le reste est 3 ...
- le reste est 4 ...
- le reste est 5 ...

Quels sont les nombres qui peuvent être premiers ?

Pour la 2e question, tu factorises.
Ensuite, tu utilises ta première question. Ton nombre $p$ est de la forme $6p+1$ ou $6p+5$.
Tu regardes le premier cas, il faut montrer que tu peux écrire $p^2 -1$ comme le produit de 24 et d'un nombre.

Tu fais la même chose avec $6p+5$.

Bon courage.
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Par solidarité, pas de MP
rebouxo
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