[Spé] Arithmétique

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[Spé] Arithmétique

Messagepar perdue15 » Samedi 07 Octobre 2006, 16:39

il ne parait pas difficile mais je bloque :S
donc le sujet c'est:

déterminer le plus petit entier naturel divisible par 616 qui soit un carré d'entier

si vous pourriez m'aider ce serait cool!!!
merci d'avance

[Edit: MB] Titre.
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Messagepar rebouxo » Samedi 07 Octobre 2006, 16:44

Décompose en facteurs premiers...
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Dernière édition par rebouxo le Samedi 07 Octobre 2006, 16:45, édité 1 fois.
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Messagepar MB » Samedi 07 Octobre 2006, 16:44

Tu peux peut être utiliser le fait que :

$$ 616 = 2^3 \times 7 \times 11 $$



(décomposition en facteurs premiers)
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Messagepar Samurai_2k5 » Samedi 07 Octobre 2006, 16:47

il faut passer à la puissance paire la plus petite sur chaque facteur de la decomposition.
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Messagepar perdue15 » Samedi 07 Octobre 2006, 17:03

même avec vos réponses j'y arrive pas :blushing:
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Messagepar MB » Samedi 07 Octobre 2006, 17:08

Et en écrivant que :

$$ 616 = 2^2 \times 2 \times 7 \times 11 $$

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Messagepar perdue15 » Samedi 07 Octobre 2006, 17:13

heu même pas, je vois pas du tout où on peut en venir.
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Messagepar MB » Samedi 07 Octobre 2006, 17:19

Tu ne vois pas un carré qui divise 616 ?
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Messagepar Samurai_2k5 » Samedi 07 Octobre 2006, 17:19

On a bien : $(p^aq^b)^2=p^{2a}q^{2b}$

en d'autres termes un carré d'entier contient des puissances paires sur chaque facteur de la decompsition.
_ rien a faire, je suis perdu
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Messagepar perdue15 » Samedi 07 Octobre 2006, 17:21

oui mais on ne cherche pas un diviseur de 616, ou alors j'ai mal lu l'énoncé
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Messagepar MB » Samedi 07 Octobre 2006, 17:31

perdue15 a écrit:oui mais on ne cherche pas un diviseur de 616, ou alors j'ai mal lu l'énoncé


Ah non, c'est moi. :tomato:

Bon, on cherche donc un multiple de 616 qui soit un carré (et qui soit donc le plus petit possible). Samurai_2k5 te donne une indication à suivre.
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Messagepar perdue15 » Samedi 07 Octobre 2006, 17:37

je crois que cet exercice restera un mystere pour moi :D :(
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Messagepar MB » Samedi 07 Octobre 2006, 17:41

perdue15 a écrit:je crois que cet exercice restera un mystere pour moi :D :(


Mais non.

Tu as :

$$ 616 = 2^3 \times 7 \times 11 $$



Tu veux trouver un multiple $n$ de $616$ (le plus petit possible et qui soit un carré). On doit donc avoir $n = 616 \times k$ avec $k$ le plus petit possible faisant en sorte que $n$ soit un carré. On a donc :

$$ n = 2^3 \times 7 \times 11 \times k $$



$k$ doit faire en sorte que chaque facteur premier (2, 7 et 11) apparaisse un nombre pair (et minimal) de fois dans la décomposition de $n$. Ainsi $n$ sera un carré.
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Messagepar perdue15 » Samedi 07 Octobre 2006, 17:51

n=616k c'est ce que j'ai fais en tout premier après je suis d'accord pour remplacer 616 par sa décomposition en nombres premier mais après je vois pas ce que k nous apporte :(
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Messagepar MB » Samedi 07 Octobre 2006, 18:23

Que doit valoir $k$ pour que :

$$ n = 2^4 \times 7^2 \times 11^2 $$



Et vérifie que $n$ est bien un carré.
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Messagepar perdue15 » Samedi 07 Octobre 2006, 18:46

je comprend le raisonnement mais le résultat me paraissais un peu grand quand même!
c'est bien la première fois que je passe autant de temps sur un exercice de maths!
en tout cas merci de m'avoir aidé :)
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Messagepar Arnaud » Samedi 07 Octobre 2006, 22:48

Un carré n'a que des puissances paires dans sa décomposition.
Ce qu'ils ont essayer de te faire comprendre, c'est par quoi faut-il compléter les puissances de la décomposition de $616$ pour qu'elles deviennent paires.

Et hop on a le résultat. Une fois qu'on connait le truc, c'est simple.

Et si tu as compris le truc, tu devrais pouvoir nous dire quel est le plus petit cube que divise 1400.
Arnaud

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