Argument d'un nombre complexe

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Argument d'un nombre complexe

Messagepar paspythagore » Samedi 02 Février 2013, 23:18

Bonjour,

je n'arrive pas à déterminer l'ensemble des points d'affixe $z$ suivants.

Merci de votre aide.
arg$(z-2i)=-\dfrac{\pi}{4}(2\pi)$

La demi-droite d'origine $O$ et d'argument $\dfrac{5\pi}{6}$ ?
arg$\left(\dfrac{1}{z-(1+2i)}\right)=\dfrac{\pi}{3}(2\pi)$

arg$\left(\dfrac{1}{z-(1+2i)}\right)=-\text{arg}(z-(1+2i))=\dfrac{\pi}{3}(2\pi)$.
Mais après, je ne sais pas.
arg$\left(\dfrac{z-i}{z+i}\right)=\dfrac{\pi}{2}(2\pi)$

$\dfrac{z-i}{z+i}$ est est un imaginaire pur avec une partie imaginaire positive. On a :

$-\left(\dfrac{z-i}{z+i}\right)=\dfrac{i-z}{z+i}=\dfrac{\bar{z}+i}{\bar{z}-i}$

soit : $-\bar{z}+1-z\bar{z}+iz=z\bar{z}+iz+i\bar{z}-1$

$2z\bar{z}=2$

$z\bar{z}=1$

L'ensemble des points recherchés serait donc le cercle de centre $O$ et de rayon $1$ privé de $i$ et $-i$ ?
Mais $z=1$ nous donne l'angle opposé à celui recherché. Est ce que la solution est le demi cercle à partie réelle négative ?
arg$\left(\dfrac{z-i}{z-(2+i)}\right)=0(2\pi)$

Là, je ne sais pas du tout.
paspythagore
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Re: Argument d'un nombre complexe

Messagepar kojak » Dimanche 03 Février 2013, 08:00

Bonjour,

Pour ce genre de chose, il vaut mieux passer par l'interprétation géométrique $\arg(z_B-z_A)=(\vv{u},\vv{AB})$$\vv{u}$ est le vecteur unitaire de l'axe réel.

Même chose pour les quotients, surtout là, tu as des angles remarquables $0$ et $\dfrac{\pi}{2}$ mais à $2\pi$ près, ce qui explique ton demi-cercle.

Angle nul, ça correspond à quoi pour tes vecteurs associés ? idem pour $\dfrac{\pi}{2}$ ?
pas d'aide par MP
kojak
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Re: Argument d'un nombre complexe

Messagepar paspythagore » Dimanche 03 Février 2013, 09:49

Bonjour et merci pour ces premières indications.

arg$(z-2i)=-\dfrac{\pi}{4}(2\pi)$


$(\vv{u},\vv{AM})=-\dfrac{\pi}{4}(2\pi)$ avec $A(2i)$.

$\vv{AM}=\begin{pmatrix}x&=&a\\y-2&=&-a\end{pmatrix}$

Ce qui donnerait $y-2=-x$ soit $y=2-x$.

arg$\left(\dfrac{1}{z-(1+2i)}\right)=\dfrac{\pi}{3}(2\pi)$


$(\vv{u},\vv{AM})=-\dfrac{\pi}{3}(2\pi)$ avec $A(1+2i)$.

$\vv{AM}=\begin{pmatrix}x-1&=&\frac{1}{2}a\\y-2&=&-\frac{\sqrt{3}}{2}a\end{pmatrix}$

$a=2x-2$ donc $y-2=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}(2x-2)=-\sqrt{3}(x-1)$

Soit la droite $y=-\sqrt{3}x+1$

arg$\left(\dfrac{z-i}{z+i}\right)=\dfrac{\pi}{2}(2\pi)$


Qu'est ce qui est faux dans ce que j'ai écrit ou qu'ai-je oublié ?

arg$\left(\dfrac{z-i}{z-(2+i)}\right)=0(2\pi)$


$(\vv{u},\vv{AM})-(\vv{u},\vv{BM})=0(2\pi)$ avec $A(i)$ et $B(2+i)$.

$\vv{BM}=k\vv{AM}$

$\begin{pmatrix}x-2&=&0\\y-1&=&a\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}x=2\\y=1+k\end{pmatrix}$

La droite $x=2$.


A part que je dois trouver des demi-droites. Est ce juste ? Que manque t-il ?
paspythagore
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Re: Argument d'un nombre complexe

Messagepar kojak » Dimanche 03 Février 2013, 13:42

paspythagore a écrit:Ce qui donnerait $y-2=-x$ soit $y=2-x$


Presque. Seulement une demi-droite, car ton angle est à $2\pi$ près. Demi droite d'origine $A(32i)$ qui forme un angle de $-\pi/4$ avec $\vv{u}$



paspythagore a écrit:Soit la droite $y=-\sqrt{3}x+1$
une petite erreur de calcul : ça donne $y-2=-\sqrt{3}(x-1)$ cad $y=-\sqrt{3} x + 2 + \sqrt{3}$ : idem, demi droite seulement.

paspythagore a écrit:
arg$\left(\dfrac{z-i}{z+i}\right)=\dfrac{\pi}{2}(2\pi)$


Qu'est ce qui est faux dans ce que j'ai écrit ou qu'ai-je oublié ?
Tes calculs sont justes mais tu as une partie de cercle qui convient pas, car ton angle est défini encore une fois à $2\pi$ près. Nulle part, tu as utilisé que ta partie imaginaire du quotient est positive.

Je le ferais géométriquement aussi : c'est plus rapide en jouant avec les angles. Tu arrives $(\vv{MJ},\vv{MI})=\dfrac{\pi}{2}\quad [2\pi]$ avec $I(i)$ et $J(-i)$ et là, tu reconnais un ..

paspythagore a écrit:$\vv{BM}=k\vv{AM}$
avec $k>0$

paspythagore a écrit:La droite $x=2$
et $y\geq 1$ donc demi droite aussi.
pas d'aide par MP
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Re: Argument d'un nombre complexe

Messagepar paspythagore » Dimanche 03 Février 2013, 19:16

Merci kojak.
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