[1ère S] Application de la Dérivée- Optimisation

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Lycée.

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[1ère S] Application de la Dérivée- Optimisation

Messagepar DarkTulipe » Lundi 05 Mars 2007, 14:14

Bonjour, bonjour !!!
Je viens ici, car comme beaucoup viennent ici pour la même raison, j'ai un probleme.

Mon prof ne nous a fourni presque aucune lecon concernant l'optimisation juste un exo, vous em direz faut prendre exemple sur l'exo... Sauf qu'il était énérvé et n'a rien trouvé de mieu que de le corriger a l'oral en 5 minute.

Et pour faire bien, il nous a offfert un jolie DM sur l'optimisation...
Sympa non??

donc, je viens ici, tout d'abord pour vous demander si vous connaissez un site ou l'on peut trouver une lecon sur l'optimisation car je n'y ais absolument rien compris.

Et je viens vous faire part de mon jolie probleme:
Image

Si vous pouviez m'aider pour démarer, ce serait cool car la j'y comprends vraiment rien :s
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Messagepar Tryphon » Lundi 05 Mars 2007, 14:47

C'est un peu normal que tu ne trouves rien sur l'optimisation puisqu'à ton niveau, c'est juste une application de la dérivée.

Un problème d'optimisation, c'est lorsque tu veux rendre maximum une quantité (ici le volume) qui varie en fonction d'une ou plusieurs autres (ici $r$ et $h$. Attention, $R$ ne varie pas, c'est une constante).

Autrement dit, tu exprimes le volume $V$ en fonction de $r$ et $h$ et tu trouves le maximum de la fonction trouvée.

Le problème, c'est que $V$ est fonction de deux variables $r$ et $h$, et à ton niveau, tu ne sais pas étudier les fonctions de deux variables. Donc la première étape consiste à exprimer une de ces deux variables en fonction de l'autre (ici, $r$ en fonction de $h$) : c'est la question 1.

Ensuite, tu auras une fonction d'une seule variable, et tu sais l'étudier (dérivée tout ça) et en trouver le maximum (question 2).

A toi maintenant...
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Messagepar DarkTulipe » Lundi 05 Mars 2007, 17:53

ok bon je comprends un peu mieu el principe de l'optimisation, enfin ce n'est qu'un peu...

J'ai réfléchie a l'exo dans la journée et j'en est cvonclu qu'il fallait jouer avec les relation de volume, ai-je raison?
Mais le probleme, c'est que je ne vois pas trop comment je peut jouer avec ca pour ne pas écrire d'absurdité :s
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Messagepar kojak » Lundi 05 Mars 2007, 18:02

Bonjour,
As tu fait la première question ?
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Messagepar DarkTulipe » Lundi 05 Mars 2007, 18:09

Non j'en suis vraiment au tout tout début, je vois pas comment je peut exprimé le rayon d'un cercle avec le rayon d'un base et d'une hauter ...
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Messagepar kojak » Lundi 05 Mars 2007, 18:21

T'aurais un petit triangle rectangle ? donc à l'aide de ton ami Pythagore...

PS : un petit effort pour essayer d'écrire sans trop de fautes d'orthographe :wink:
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Messagepar DarkTulipe » Lundi 05 Mars 2007, 20:25

Pythagore est mon ami??

Ben chouette alors :D

J'essaye sa dés ce soir, et je suis désolé pour mon orthographe, mais c'est l'une des raisons qui m'a poussé a la filiére scientifique, j'essaye ca ce soir et j'en reparle demain :o
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Messagepar Tryphon » Lundi 05 Mars 2007, 20:49

DarkTulipe a écrit:je suis désolé pour mon orthographe, mais c'est l'une des raisons qui m'a poussé a la filiére scientifique,


J'ai peur que ça soit une (très) mauvaise raison...
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Messagepar DarkTulipe » Mardi 06 Mars 2007, 12:28

j'ai peut etre trouvé mais je ne suis pas sur de moi à 100%

je t'expose mon hypothèse:

j'ai pensé faire une section de la sphère et du cylindre pour arriver à avoir un plan en 2D dans lequel je sais travailler
j'ai envisagé de faire cette section par un plan horizontal qui passe par le centre de la sphére. ensuite je me suis aperçu qu'on avait un triangle rectangle ( cylindre ) inscrit dans un cercle ( sphère ).

après l'appliacation du théorèe de Pythagore j'obtiens

r² = (R-h)(R+h)

ai-je raison ?
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Messagepar kojak » Mardi 06 Mars 2007, 13:46

Presque : ton autre coté du triangle ne mesure pas $h$ mais....
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Messagepar DarkTulipe » Mardi 06 Mars 2007, 17:06

pourquoi ne mesure-t-il pas h ? je ne vois pas ce que ca peut etre d'autre désolé kojak
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Messagepar kojak » Mardi 06 Mars 2007, 17:08

Dessine un cercle de façon à avoir une coupe de ta sphère....
Pour moi, c'est $\dfrac{h}{2}$ non ?
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Messagepar DarkTulipe » Mardi 06 Mars 2007, 18:14

oui je vois ce que tu veux dire, mais je ne sais pas comment le représenter.

j'arrive à me matérialiser le shcéma dans la tete mais je suis incapable de le faire sur le papier.
peux-tu me dire comment je dois faire stp pour desiner mon cercle avec le triangle inscrit dedans
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Messagepar kojak » Mardi 06 Mars 2007, 18:35

Ben tu dessines ton cercle de centre $O$ de rayon $R$.
Et dedans tu y places un rectangle de hauteur $h$ de largeur $2r$ et le tour est joué...
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Messagepar DarkTulipe » Mardi 06 Mars 2007, 19:02

ok merci :)

c'est pour ca que c'est $h/2$

pour la deuxième question, je dois me servir de la formule du volume du cylindre et remplacer $r^2$ par $(R-h/2)(R+h/2)$

Tryphon a écrit que $R$ est une constante. est ce parce que c'est le rayon de la sphère ou pour une autre raison? est ce que je peux le remplacer par un chiffre ?
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Messagepar Tryphon » Mardi 06 Mars 2007, 19:07

C'est parce que c'est le rayon de la sphère et qu'a priori, il est fixé ( = constant) au départ. A la différence de $r$ et $h$, où tu vas tester plusieurs valeurs (une infinité même) avant de trouver celles qui rendent le volume minimal.
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Messagepar DarkTulipe » Mardi 06 Mars 2007, 19:17

d'accord

mais pour trouver $r$ et $h$ je ne vais pas m'amuser à prendre toutes les valeurs sinon j'y suis encore dans quelques jours. je pensais prendre la dérivée du volume pour faire le tableau de variation de la fonction afin de trouver les extrmemums... est ce qune bonne méthode?
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Messagepar DarkTulipe » Mardi 06 Mars 2007, 19:22

excuse moi avec toutes ces questions mais je n'ai vraiment rien compri à l'exercice.
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Messagepar Tryphon » Mardi 06 Mars 2007, 19:23

DarkTulipe a écrit:d'accord

mais pour trouver $r$ et $h$ je ne vais pas m'amuser à prendre toutes les valeurs sinon j'y suis encore dans quelques jours.


Et même quelques siècles, vu qu'il y a une infinité de valeurs

je pensais prendre la dérivée du volume pour faire le tableau de variation de la fonction afin de trouver les extrmemums... est ce qune bonne méthode?


Bien sûr. C'est même pour ça qu'on a inventé les fonctions :roll:
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Messagepar DarkTulipe » Mardi 06 Mars 2007, 19:40

je ne vois pas comment dérivé la formule du volume $V = \pi \times r^2 \times h$ qui a deux inconnues.

[Edit: MB] Code LaTeX modifié.
1) Ne pas multiplier les dollars pour rien,
2) le signe multiplier c'est \times.
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