[1ère S] Application de la Dérivée- Optimisation

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Lycée.

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Messagepar kojak » Mardi 06 Mars 2007, 19:41

DarkTulipe a écrit: je pensais prendre la dérivée du volume pour faire le tableau de variation de la fonction afin de trouver les extrmemums... est ce qune bonne méthode?
Ben oui, encore faut il avoir l'expression du volume en fonction de $h$ :roll:
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Messagepar DarkTulipe » Mercredi 07 Mars 2007, 09:59

même en la mettant en fonction de h il me reste cette constante $R$ qui me dérange.

en mettant la formule en fonction de $h$, j'obtiens
$\pi h (R-\dfrac{h}{2})(R+\dfrac{h}{2})$ qui est équivalent à $\pi h (R-\dfrac{h^2}{4})$

la dérivée de $\pi$ est $0$ puisque c'est une constante. en admettant que $R$ le soit également, sa dérivée serait $0$ ?
la dérivée de $h$ est $1$ et celle de $\dfrac{h^2}{4}$ est $\dfrac{h}{2}$
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Messagepar DarkTulipe » Mercredi 07 Mars 2007, 10:00

j'ai fait une erreur ... la dérivée de $\pi h$ est $\pi$ :oops:
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Messagepar DarkTulipe » Mercredi 07 Mars 2007, 10:25

:oops: :oops: je suis désolé mais je n'ai fait que des erreurs dans mon raisonnement précédent. je suis en vacances et j'avoue que j'ai un peu de mal à me remettre au travail :?

j'ai appris une formule au lycée pour dériver un produit de fonction: $u'v+uv'$

si je l'applique ici je me retrouver avec ( excuse moi mais je préfère faire le détail de mes calculs )
$(\pi h)'(R^2-\dfrac{h^2}{4})+(\pi h)(R^2-\dfrac{h^2}{4})'$
ce qui me donne qqch comme
$\pi (R^2-\dfrac{h^2}{4})+(\pi h)(2R-\dfrac{h}{2})$

mais que dois-je faire de cette constante $R$ qui me dérange et me bloque pour la suite de mes calculs?
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Messagepar kojak » Mercredi 07 Mars 2007, 11:04

Ce n'est pas bon et tu te compliques la vie, à mon avis...
Le plus simple est de développer ton expression du volume $\pi\left(R^2 h -\dfrac{h^3}{4}\right)$ et ensuite tu dérives par rapport à $h$..
Reprends à partir de là...
$R$ est une constante donc sa dérivée est bien nulle comme tu l'as dit.
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Messagepar DarkTulipe » Mercredi 07 Mars 2007, 11:16

ok je vais essayer de reprendre à partir de là.

la dérivée de $R$ est $0$ donc $(R^2h)'=0$
la dérivée de $\dfrac{-h^3}{4}$ est $\dfrac{-3h^2}{4}$

mais la dérivée de $\pi$ est $0$...

je comprend rien :? :cry:
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Messagepar kojak » Mercredi 07 Mars 2007, 11:23

DarkTulipe a écrit:la dérivée de $R$ est $0$ donc $(R^2h)'=0$
non et le $h$ donc $(R^2 h)'=R^2 $
DarkTulipe a écrit:la dérivée de $\dfrac{-h^3}{4}$ est $\dfrac{-3h^2}{4}$
Correct...

tu t'embrouilles :
la dérivée de $k\times h$ est $k$ si $k$ est une constante...
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Messagepar DarkTulipe » Mercredi 07 Mars 2007, 11:34

la dérivée de $kh$ est $k$ si $k$ est ne constante... ca veut dire que je n'ai pas à dériver en faite, je dois simplement prendre $R^2$ comme résultat. OK ca j'ai compri merci.

alors ca veut dire que pour $\pi\left(R^2-\dfrac{3h^2}{4}\right)$ je peux me mettre sur le même type de résolution que tout à l'heure avec $k\times h$ avec ici $k=\pi$ et $h=\left(R^2-\dfrac{3h^2}{4}\right)$ ?
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Messagepar kojak » Mercredi 07 Mars 2007, 11:41

DarkTulipe a écrit:alors ca veut dire que pour $\pi\left(R^2-\dfrac{3h^2}{4}\right)$
ceci est tout simplement la dérivée de ta fonction $V(h)$ qui se note $V'(h)$ et donc faut étudier son ... pour avoir les variations de $V$ et tu pourras en déduire pour quelle valeur de $h$, en fonction de $R$ ton volume est maximum...
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Messagepar DarkTulipe » Mercredi 07 Mars 2007, 11:52

comment veux tu que j'étudie son signe sachant que j'ai deux inconnues et que je ne peux le faire qu'avec une ?

ah non je dois trouver les racines de ce polynômes

mais que devient le $\pi$ ? je ne le dérive pas ?
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Messagepar kojak » Mercredi 07 Mars 2007, 11:57

DarkTulipe a écrit:comment veux tu que j'étudie son signe sachant que j'ai deux inconnues et que je ne peux le faire qu'avec une ?
Non, tu n'as qu'une variable $h$ d'ailleurs elle se situe dans quel intervalle ? En clair, quelle est la plus petite valeur possible de $h$ ? la plus grande ?
DarkTulipe a écrit:ah non je dois trouver les racines de ce polynômes
Oui, sans oublier que $R>0$
DarkTulipe a écrit:mais que devient le $\pi$ ? je ne le dérive pas ?
c'est une constante...
La dérivée de $\pi\times u$ est $\pi \times u'$...
Que vaut $(3x^2)'$
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Messagepar DarkTulipe » Mercredi 07 Mars 2007, 12:05

$(3x^2)'=6x$
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Messagepar kojak » Mercredi 07 Mars 2007, 12:06

Correct et donc c'est pareil avec ton $\pi$..
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Messagepar DarkTulipe » Mercredi 07 Mars 2007, 13:40

d'accord je comprend maintenant.

je suis partie de la dérivée $V'(h)=\pi\left(R^2-\dfrac{3h^2}{4}\right)$
ensuite je résoud $V'(h)=0$.
j'obtiens $\pi\left(R-\dfrac{\sqrt{3}h}{2}\right)\left(R+\dfrac{\sqrt{3}h}{2}\right)=0$

donc $h=\dfrac{2R}{\sqrt{3}}$ puisque $R\ge0$

ca fait un peu barbare comme formule pour une racine :?
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Messagepar kojak » Mercredi 07 Mars 2007, 13:45

DarkTulipe a écrit:$h=\dfrac{2R}{\sqrt{3}}$ puisque $R\ge0$
Correct..
DarkTulipe a écrit:ca fait un peu barbare comme formule pour une racine :?
ce n'est pas bien grave :wink: Cependant, faut pas que tu démontres que c'est un max ?

PS : je résous
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Messagepar DarkTulipe » Mercredi 07 Mars 2007, 13:50

je dois faire un tableau de signe avec un tableau montrant le sens de variation de $V(h)$ pour montrer que $\dfrac{2R}{\sqrt{3}}$ est un maximum.

est ce que je dois en plus faire des phrases pour le montrer ou le tableau va suffir ?
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Messagepar kojak » Mercredi 07 Mars 2007, 13:51

Tout dépend ce que ton prof demande...
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Messagepar DarkTulipe » Mercredi 07 Mars 2007, 13:53

justement le problème est là ... il ne nous aide pas sur ce point de vue, on doit se débrouiller.

comment pourrais- je faire pour le faire par ecrit en plus du tableau ? (simplement pour savoir pour le bac : il parait qu'il faut faire les 2 )
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Messagepar DarkTulipe » Mercredi 07 Mars 2007, 14:09

j'ai encore une question : tout a l'heure , tu m'as demandé l'intervalle de $h$ ... comment puis- je le trouver ?
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Messagepar kojak » Mercredi 07 Mars 2007, 17:12

Ben la plus petite valeur de $h$ est $0$ (t'as pas de cylindre) et la plus grande $2R$... après ça déborde :P
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