[3ème] Géométrie (triangle équilatéral)

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[3ème] Géométrie (triangle équilatéral)

Messagepar Bella » Mercredi 05 Novembre 2008, 16:02

Bonjour,
je me casse la tête depuis deux jours sur ce problème de géométrie :

ABC est un triangle équilatéral de côté a et M est un point intérieur au triangle. On appelle P le pied de la perpendiculaire à (AB) passant par M, Q le pied de la perpendiculaire à (BC) passant par M et R le pied de la perpendiculaire à (AC) passant par M. Il faut prouver que la somme MP + MQ + MR est indépendante de la position de M.

J'ai cherché du côté des droites remarquables (médiatrices, bissectrices, hauteur..), du côté des propriétés du triangle équilatéral, je ne sais plus comment continuer !
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Re: 3è : géométrie, triangle équilatéral

Messagepar François D. » Mercredi 05 Novembre 2008, 16:21

Je dirais qu'il faut essayer de raisonner en utilisant les aires : celle du triangle $ABC$ d'une part, qui est constante (c'est toujours le même triangle) et vaut ... , d'autre part la somme des aires des triangles $ABM$, $ACM$ et $BCM$ : quelle est la longueur de leur « base », et quelles sont leurs aires respectives ?
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Re: 3è : géométrie, triangle équilatéral

Messagepar Bella » Mercredi 05 Novembre 2008, 16:34

Merci beaucoup,
Je crois que j'ai trouvé la solution : la valeur de la hauteur du triangle ABC = la somme des trois segments : MQ + MR + MP et ne dépend pas de M
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Re: 3è : géométrie, triangle équilatéral

Messagepar François D. » Mercredi 05 Novembre 2008, 16:45

Oh là ... sûre ?

En fait : appelons $\mathcal{A}$ l'aire du triangle $ABC$, et $a$ la longueur de chacun de ses trois côtés.

Par quelle formule où interviennent $a$ et la longueur $MP$ obtient-on l'aire du triangle $ABM$ ?
Même question dans les triangles $ACM$ et $BCM$, en utilisant $R$ et $Q$ ...

Comment enfin écrire $\mathcal{A}$ à partir de ces trois aires ? Dans la formule donnant $\mathcal{A}$ à partir des aires des triangles $ABM$, $ACM$ et $BCM$, on devrait pouvoir faire apparaître $MP+MQ+MR$ ...
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Re: 3è : géométrie, triangle équilatéral

Messagepar titi31 » Mercredi 05 Novembre 2008, 17:30

Jeune Bella, François D. vous a donné de bonnes indications. J'avais aussi évoqué en cours que les aires interviennent dans cet exercice.
Bon courage !
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Re: 3è : géométrie, triangle équilatéral

Messagepar François D. » Mercredi 05 Novembre 2008, 17:54

Tiens ... titi31 aurait-il reconnu une de ses ouailles :mrgreen: ?
François D.
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