Fractions

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Collège.

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Fractions

Messagepar christelle » Lundi 29 Décembre 2008, 12:10

Je vous écris pour avoir un petit coup de main. Voilà une semaine que mon fils et moi-même cherchons à résoudre ce problème. Pourriez-vous nous aider s'il vous plaît ? Voici le problème :

Pour chacune des fractions 3/5 ; 4/7 ; 6/11 trouve une fraction égale qui vérifie à la fois les deux conditions suivantes :

- le dénominateur de la fraction égale à 3/5 soit égal au numérateur de la fraction égale à 4/7

- le dénominateur de la fraction égale à 4/7 soit égal au numérateur de la fraction égale à 6/11

Merci pour votre aide
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Re: Fractions

Messagepar Framboise » Lundi 29 Décembre 2008, 13:25

Bonjour,

Est-ce bien l'énoncé correct ?
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Re: Fractions

Messagepar christelle » Lundi 29 Décembre 2008, 15:01

Oui l' enoncé est correct
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Re: Fractions

Messagepar Arnaud » Lundi 29 Décembre 2008, 15:45

Si tu as une fraction égale à $\dfrac{3}{5}$, que peux-tu dire de son dénominateur ?
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Re: Fractions

Messagepar Framboise » Lundi 29 Décembre 2008, 17:37

Cet énoncé me semble plutôt difficile à comprendre pour une 4eme...
On cherche 3 fractions égales à 3/5 ; 4/7 ; 6/11
Appelons les N1/D1, N2/D2, N3/D3 pour alléger l'écriture.

Il faut que:
- le dénominateur de la fraction égale à 3/5 soit égal au numérateur de la fraction égale à 4/7
- le dénominateur de la fraction égale à 4/7 soit égal au numérateur de la fraction égale à 6/11


- le dénominateur de la fraction égale à 3/5 soit égal au numérateur de la fraction égale à 4/7
doit se comprendre comme:
- le dénominateur de { la fraction égale à 3/5 } soit égal au numérateur de { la fraction égale à 4/7 }
=> - le dénominateur de (N1/D1) soit égal au numérateur de (N2/D2)
=>
dénominateur de (N1/D1) = ... ( trivial )
numérateur de (N2/D2) = ...

De même ensuite.

Un problème bien posé et bien compris est déjà à moitié résolu.
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Re: Fractions

Messagepar christelle » Lundi 29 Décembre 2008, 18:03

OK Framboise pour ces explications, je suis d'accord avec vous sur cette lecture, j'en faisais la même.
Il s'agit de trouver n1, d1, n2, d2, n3 et d3.

d1 et n2 devant être égaux,
d2 et n3 devant être égaux, j'ai cherché à trouver le rapport qu'il devait y avoir entre n1 et d3.
Et en avant la musique ...
3/5= n1/d1, donc 3d1= 5n1, donc d1=5n1/3.
d1=n2, donc je remplace n2 par sa valeur 5n1/3 dans l'équation 4/7=n2/d2 ...

Et ainsi de suite, jusqu'à finir par exprimer d3 en fonction de n1: d3= 385 n1 / 72

Donc, si n1 = 72, on trouve d1=n2=120, d2=n3 = 210, d3= 385.

Mais cette démarche me paraît être compliquée pour un élève de 4ème ... quand je la lui présente, il ne la comprend pas .
Je pense donc qu'il y a une autre démarche, qui aboutit sans doute au même résultat, ou à un multiple, mais beaucoup plus simple, au niveau d'une classe de 4ème !

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Re: Fractions

Messagepar christelle » Lundi 29 Décembre 2008, 18:54

Pour réponse à Arnaud:
une fraction égale à 3/5 a donc un dénominateur qui se termine par 0 ou 5.
Effectivement, la solution passe peut être par la constitution d'un tableau qui énumère une longue liste des fractions égales à 3/5, puis, parmi celles là, déterminer celles dont le dénominateur est un multiple de 4, puis enfin, parmi celles qui restent, celle dont le numérateur est un multiple de 6.
Ceci me parait plutôt laborieux, mais mon gamin la comprend beaucoup plus facilement !

Je cherche plutôt une démarche mathématique simple qui conduise au résultat ... mais existe-t'elle ?

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Re: Fractions

Messagepar Arnaud » Lundi 29 Décembre 2008, 19:27

christelle a écrit:Pour réponse à Arnaud:
une fraction égale à 3/5 a donc un dénominateur qui se termine par 0 ou 5.
Effectivement, la solution passe peut être par la constitution d'un tableau qui énumère une longue liste des fractions égales à 3/5, puis, parmi celles là, déterminer celles dont le dénominateur est un multiple de 4, puis enfin, parmi celles qui restent, celle dont le numérateur est un multiple de 6.
Ceci me parait plutôt laborieux, mais mon gamin la comprend beaucoup plus facilement !


Hé ben c'est parfait, le principal est qu'il a compris.
La liste n'a pas besoin d'être trop longue, on peut faire jouer l'intuition ( pas toujours besoin d'une méthode ou d'une recette de cuisine pour bien faire ses exos de maths ).

christelle a écrit:Je cherche plutôt une démarche mathématique simple qui conduise au résultat ... mais existe-t'elle ?


Simple, ça dépend pour qui.
Elle n'est pas toujours enseignée en France, et je l'enseigne à mes 6e ( donc à mon avis rien de difficile ).
Tu cherches un multiple commun de trois nombres, la meilleure solution sera avec le PPCM ( Plus Petit Commun Multiple ).

Ton fils se poserait la même question si il devait additionner directement les fractions $\dfrac{1}{5}$, $\dfrac{1}{4}$ et $\dfrac{1}{6}$.

Il existe des formules pour ça, mais je ne vois pas l'intérêt de les énoncer ici. Le plus simple est de chercher les multiples du plus grand nombre ( à savoir 6, ça va alors beaucoup plus vite ), et de trouver ceux qui sont aussi multiples de 4 et de 5 ( donc de .... ).
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Re: Fractions

Messagepar Framboise » Lundi 29 Décembre 2008, 19:43

Il y a bien sur la méthode semi-empirique.
On a d'une part les fractions 3/5 et 4/7
Il faut donc que la première égalité D1 = N2 soit = à un multiple de 5 et 4.
On a donc 20 comme solution évidente que l'on ne peut pas réduire ( on parle alors de PPCM ) car l'on n'a pas de nombre plus petit qui soit à la fois multiple de 5 et de 4.
On a aussi tous les multiples de 20.
On peut donc faire une liste des multiples de 20, en listant à côté les fractions correspondantes, en se limitant aux premiers, une dizaine par exemple.

On a d'autre part les fractions 4/7 et 6/11
Il faut donc que la 2eme égalité D2 = N3 soit = à un multiple de 7 et 6.
On a donc 6 * 7 = 42 comme solution évidente que l'on ne peut pas réduire ( on parle alors de PPCM ) car l'on n'a pas de nombre plus petit qui soit à la fois multiple de 6 et de 7.
On a aussi tous les multiples de 42.
On peut donc faire une liste des multiples de 42, en listant à côté les fractions correspondantes, en se limitant aux premiers, une dizaine par exemple.

Il ne reste plus qu'à comparer les listes pour trouver un cas compatible.

On a la solution déjà donnée plus tôt, mais aussi tous les multiples de cette solution.

Compte tenu qu'il n'est pas demandé de trouver le plus petit cas possible, c'est plus élégant mais pas nécessaire de recourir au PPCM.

Je pense que cette approche serait plus accessible au niveau 4eme.
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Re: Fractions

Messagepar christelle » Lundi 29 Décembre 2008, 21:35

Framboise et Arnaud, merci à tous les deux pour vos explications patientes !!
Le PPCM ! voilà une méthode accessible à son niveau, et élégante, qui me plait beaucoup plus !!!
Mon gamin en connait le principe ... il ne me reste plus qu'à le mettre sur la voie !!

Encore merci !!

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