Une formule à démontrer

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Une formule à démontrer

Messagepar evariste_G » Mercredi 24 Avril 2013, 17:47

Bonjour à toutes et à tous !
Dans un manuel scolaire, dans un exercice, j'ai vu une formule que j'ai souhaité démontrer (ce qui n'était pas demandé mais s'était pour moi). Mais après quelques réflexions, je n'ai pas trouvé le chemin à emprunter ... La voici :
Soit un triangle ABC. On pose a = BC, b = AC et c = AB. On pose $\ell$ la longueur de la bissectrice issue de C dans ce triangle. Alors, on a :

$$\ell^2=bc\left(1-\frac{a^2}{(b+c)^2}\right)$$


Est-ce que quelqu'un a une idée pour la démontrer ?
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Re: Une formule à démontrer

Messagepar kojak » Jeudi 25 Avril 2013, 07:30

Bonjour,

Pour avoir cette formule, il faut jouer avec la formule donnant l'aire d'un traingle $ABC$ : $S=\dfrac12 bc \sin A$ et dans les triangles $ABI$ et $AIC$$I$ est le pied de la bissectrice car tes deux angles au sommet sont égaux à $A/2$.

Ensuite, un petit coup de Al Kashi et de trigo $\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha -1$ et le tour devrait être joué.

Edit : Pour ma part, j'ai un souci sur la formule finale à une permutation des lettres : j'ai

$\ell^2 = ab\left(1-\dfrac{c^2}{(a+b)^2}\right)$
pas d'aide par MP
kojak
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Re: Une formule à démontrer

Messagepar evariste_G » Jeudi 25 Avril 2013, 13:16

Merci. Je regarderai quand j'en aurai le temps. Je reviendrai faire ma conclusion. Pour la permutation de lettres, il est fort possible que je me sois mélangé les pinceaux en réécrivant la formule en fonction de ma figure. Je te dirai ça ! :)

EDIT : en définitive, c'est plus rapide que je le pensais. C'est en effet la formule que tu as écrite : $\ell^2=ab\left(1-\frac{c^2}{(a+b)^2}\right)$. Merci !
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