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Triangle

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Triangle

Messagepar DUET » Jeudi 27 Juillet 2006, 22:51

Bonsoir,
quelqu'un pour démontrer (géométriquement si possible) que $\overrightarrow{rN}=\frac{3}{2}\overrightarrow{OM} ?$

$ABC$ est un triangle quelconque, $O$ son centre de gravité,
$p$, $q$, $r$ les milieux respectifs de $[A,B]$, $[B,C]$ et $[C,A]$.
$M$ un point quelconque,
$a$ : projection de $M$ parallèlement à $(Oq)$ sur $(BC)$,
$b$ : projection de $M$ parallèlement à $(Or)$ sur $(AC)$,
$c$ : projection de $M$ parallèlement à $(Op)$ sur $(AB)$,
$\overrightarrow{rN}=\overrightarrow{qa}+\overrightarrow{pc}+\overrightarrow{rb}$.

Merci d'avance
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Messagepar P.Fradin » Vendredi 28 Juillet 2006, 08:45

Bonjour,

Quel niveau??

On écrit $\vec{OM}=x\vec{OA}+y\vec{OB}+z\vec{OC}$, on projette sur les trois cotés du triangle parallèlement à ce qu'il faut...
Ce qui vous donnera les trois vecteurs $\vec{qa}$, $\vec{pc}$, et $\vec{rb}$, reste à les ajouter...

Je n'ai pas cherché à savoir s'il y avait plus simple.
P.Fradin
 

Messagepar DUET » Vendredi 28 Juillet 2006, 12:32

Quel niveau??

C'est un problème pratique sur lequel je suis tombé en évaluant une méthode d'éléments finis alors je ne connais pas le niveau qui permet de le démontrer simplement.
$\vec{OM}=x\vec{OA}+y\vec{OB}+z\vec{OC}$

Analytiquement, $x=y=z=\frac{1}{3}$ et la projection d'un point $(u,v)$ sur une droite $au+bv+c=0$ parallèlement à un vecteur $(s,t)$ est le point $((b(tu-sv)-sc)/d,(a(sv-tu)-tc)/d)$$d=as+bt$ mais la fin du calcul est pénible.
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Messagepar P.Fradin » Vendredi 28 Juillet 2006, 13:22

Surtout pas d'analytique!

x, y, z=1-x-y sont les coordonnées barycentriques de M dans (A,B,C), et peu importe leur valeur. On a $\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC}$, soit $f$ la projection sur $(AC)$ parallèlement à $(Or)$, $f$ étant une application affine on a:

$$\overrightarrow{f(O)f(M)})=x\overrightarrow{f(O)f(A)}+y\overrightarrow{f(O)f(B)}+z\overrightarrow{f(O)f(C)}$$


c'est à dire:

$$\overrightarrow{rb}=x\overrightarrow{rA}+z\overrightarrow{rC}$$


de même, avec $g$ la projection affine sur $(BC)$ parallèlement à $(Oq)$ on obtient:

$$\overrightarrow{qa}=y\overrightarrow{qB}+z\overrightarrow{qC}$$


et avec $h$ la projection affine sur $(AB)$ parallèlement à $(Op)$ on obtient:

$$\overrightarrow{pc}=x\overrightarrow{pA}+y\overrightarrow{pB}$$


On ajoute les trois relations:

$$
 \overrightarrow{rb}+\overrightarrow{qa}+\overrightarrow{pc}=x[\frac12 \overrightarrow{CA}+\frac12 \overrightarrow{BA}]+y[\frac12 \overrightarrow{CB}+\frac 12\overrightarrow{AB}]+z[\frac12 \overrightarrow{AC}+\frac12 \overrightarrow{BC}]$$



$$\overrightarrow{rb}+\overrightarrow{qa}+\overrightarrow{pc}=x\overrightarrow{qA}+y\overrightarrow{rB}+z\overrightarrow{pC}$$



$$\overrightarrow{rb}+\overrightarrow{qa}+\overrightarrow{pc}=
 \frac32(x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC})$$



$$\overrightarrow{rb}+\overrightarrow{qa}+\overrightarrow{pc}=\frac32\overrightarrow{OM}$$

P.Fradin
 

Messagepar DUET » Vendredi 28 Juillet 2006, 13:27

MERCI ! :thumbsup:
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