[Résolu] Recherche d'une expression

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[Résolu] Recherche d'une expression

Messagepar evariste_G » Vendredi 27 Avril 2012, 08:36

Bonjour.
J'aimerais trouver une fonction $f$ définie sur $[0;4]$ remplissant les conditions suivantes :

  • $f(0)=0$
  • $\lim\limits_{x\to 0} f^\prime(x)=+\infty$
  • $f^\prime(1)=0$
  • $f$ croissante sur $[0;1]$
  • $f^\prime(2)=0$
  • $f$ décroissante sur $[1;2]$
  • $f$ croissante sur $[2;4]$

Déjà, je n'arrive pas à trouver une fonction qui satisfait les deux premiers points. Si quelqu'un avait au moins une idée sur ces points là, je pourrais avancer.
Merci d'avance.
Dernière édition par evariste_G le Samedi 28 Avril 2012, 12:00, édité 1 fois.
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Re: Recherche d'une expression

Messagepar OG » Vendredi 27 Avril 2012, 09:00

Pour un et deux : $\sqrt{x}$
Pour le reste je verrai plus tard, par morceaux
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Re: Recherche d'une expression

Messagepar evariste_G » Vendredi 27 Avril 2012, 10:57

Ah oui, la racine carrée ... J'étais plongé dans les logarithmes et exponentielles et du coup, j'en ai oublié ces fonctions. Bon, je te remercie. Je vais voir de mon côté, quand j'aurai le temps, avec cette nouvelle donnée :)
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Re: Recherche d'une expression

Messagepar OG » Vendredi 27 Avril 2012, 13:09

$x\ln(x)$ n'est pas trop dérivable en 0 non plus.
Voici un graphique avec une expression sans définition par morceaux

86d1565c6a23298febd947b24f05411b.png

Code: Tout sélectionner
import graph;
size(200);
real f (real x)
{
return 6*(sqrt(x)-.5*(2*sqrt(2)-1)/sqrt(2)*x+.25*(sqrt(2)-1)/sqrt(2)*x*x);
}

draw(graph(f,0,4));

//axes("$x$","$y$",red);

xaxis("$x$",BottomTop,LeftTicks(Step=1,step=0.25));
yaxis("$y$",LeftRight,RightTicks(Step=1));



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Re: Recherche d'une expression

Messagepar evariste_G » Vendredi 27 Avril 2012, 15:22

Merci beaucoup.
C'est l'allure que je cherchais, en effet mais par curiosité, comment en es-tu arrivé à ça ? Est-ce intuitif par rapport à ce que tu as pu rencontrer comme fonctions dans ta vie ?

Je viens de tester avec un logarithme est j'obtiens une forme convenable aussi (sans se soucier des autres conditions) :

(Je n'arrive pas à la tracer avec asymptote ici, mais il s'agit de la fonction $f(x)=x\left(\ln x\right)^2+x^2$ sur $]0;1]$).
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Re: Recherche d'une expression

Messagepar OG » Vendredi 27 Avril 2012, 20:55

evariste_G a écrit:Merci beaucoup.
C'est l'allure que je cherchais, en effet mais par curiosité, comment en es-tu arrivé à ça ? Est-ce intuitif par rapport à ce que tu as pu rencontrer comme fonctions dans ta vie ?


Question difficile, je ne me rappelle plus toutes les fonctions rencontrées dans ma vie.
Disons que quand j'ai lu ton message pour 1) et 2) j'ai pensé à $\sqrt{x}$ et écrit le post. Ensuite j'avais autre chose à faire (pas des maths) et pendant ce temps pour 1) 2) 3) et 4) je me suis dit qu'en combinant avec $x$ ça marcherait. Me doutant qu'une fonction définie par morceaux plairait moins qu'une vraie expression, j'ai commencé à écrire en combinant $\sqrt{x}$, $x$, $x^2$ : $\sqrt{x}+ax+bx^2$ avec comme condition annulation de la dérivée en 1 et 2, juste avant d'aller faire des courses...

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Re: Recherche d'une expression

Messagepar evariste_G » Samedi 28 Avril 2012, 12:00

:D Je n'en demandais pas tant sur ta vie privée :wink: Mais je comprends la démarche. Merci pour cette réponse.
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