Plan coupant sphères et sphéroides

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Plan coupant sphères et sphéroides

Messagepar matthieu » Mercredi 21 Juin 2006, 13:01

Bonjour!

Je suis doctorant en géologie et mes souvenir en math ne sont plus très frais.

Je cherche à calculer les dimensions moyennes de l'intersection entre un plan quelconque et une sphère ou un sphéroide.

Dans le sas d'une sphère, c'est facile, l'intersection avec un plan donne un cercle. Je dirais que l'ensemble des cercles possibles ont un rayon moyen de $\sqrt 2/2 *r$ avec r le rayon de la sphère. Vous êtes d'accord? On le voit géométriquement sur le cercle trigo, mais je suppose que l'on peut retrouver ce résultat en intégrant l'équation du cercle (sauf s'il est faux!).

Dans le cas d'un sphéroide de dimentions a,b,c c'est plus compliqué. On obtient une ellipse de grand axe a' et petit axe b'. Si on considère l'ensemble des ellipses possibles, quelles sont les valleurs moyennes pour a' et b'?
Si vous pouviez m'indiquer un bouquin ou un site qui m'aiderait à résoudre ce problème... Ou m'aider directement à trouver la solution! C'est peut être pas si dur...

Je m'interresse également à l'intersection d'un plan quelconque avec un cube, un tétraèdre, et autres formes... Mais j'ai peur que ce soit plus compliqué dans ces cas là!

MERCI!

Matthieu
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Re: Plan coupant sphères et sphéroides

Messagepar rebouxo » Mercredi 21 Juin 2006, 15:31

matthieu a écrit:Bonjour!

Je suis doctorant en géologie et mes souvenir en math ne sont plus très frais.

Je cherche à calculer les dimensions moyennes de l'intersection entre un plan quelconque et une sphère ou un sphéroide.

Dans le sas d'une sphère, c'est facile, l'intersection avec un plan donne un cercle. Je dirais que l'ensemble des cercles possibles ont un rayon moyen de $\sqrt 2/2 *r$ avec r le rayon de la sphère. Vous êtes d'accord?
On le voit géométriquement sur le cercle trigo, mais je suppose que l'on peut retrouver ce résultat en intégrant l'équation du cercle (sauf s'il est faux!).


Je ne suis pas convaincu. Pour moi la valeur moyenne est définie par :
$ \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx $.
Ensuite si on appelle $x$ la "hauteur " du rayon $r = f(x)$, alors $ r = \sqrt{R^2-x^2}$ (avec $R$ rayon de la sphère.

Problème , si je raisonne avec des angles ($r=R\cos(\alpha)} je ne trouve pas le même résultat, mais dans les deux cas cela ne donne pas ton $\frac{R\sqrt{2}}{2}$.   Je pense que ton $\frac{R\sqrt{2}}{2}$ correspond plutôt à la médiane (cela doit couper l'ensemble des rayons en deux classes égales), mais je suis pas trop sur.

matthieu a écrit:
Dans le cas d'un sphéroide de dimentions a,b,c c'est plus compliqué. On obtient une ellipse de grand axe a' et petit axe b'. Si on considère l'ensemble des ellipses possibles, quelles sont les valleurs moyennes pour a' et b'?
Si vous pouviez m'indiquer un bouquin ou un site qui m'aiderait à résoudre ce problème... Ou m'aider directement à trouver la solution! C'est peut être pas si dur...

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MERCI!

Matthieu


Dans le cas du sphèroïde je suis incompétent, mais je préssens un truc bien pénible, car on n'a plus de symétrie.

Olivier
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Messagepar matthieu » Mercredi 21 Juin 2006, 16:10

Merci d'avoir répondu... En suivant cette formule, mais en passant pasr les surface et pas directement par les rayons, pour éviter les changements de variable que je ne sais plus faire:

S' surface du disque d'intersection entre le plan et la sphère
moyS' moyenne des surfaces des disques
R rayon de la sphère
R' rayon du disque
moyR' rayon moyen du disque
x "hauteur" du rayon du disque (corde) sur le rayon de la sphère

$S'=\pi * R'\footnotemark[2] = \pi * (R\footnotemark[2] - x\footnotemark[2])$

$moyS' = 1/R * \int_{0 à R}  \pi * (R\footnotemark[2] - x\footnotemark[2])  dx$
$moyS' = 1/R * \pi * [R\footnotemark[2] * x - x\footnotemark[3] / 3 ]_{0 à R}$
$moyS' = 1/R * \pi * (( 3 * R\footnotemark[3] - x\footnotemark[3] ) / 3 )$
$moyS' = 2/3 * \pi R\footnotemark[2]$

donc
$moyR' = \sqrt{2/3} * R$

Ce n'est effectivement pas égal à ce que j'attendais... J'aurais juré dans ce cas que la médiane aurait du être égale à la moyenne.

Ai je fait une erreur?

Merci,

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Messagepar rebouxo » Mercredi 21 Juin 2006, 17:17

En fait il y a pas de changement de variable. J'ai trouvé la primitive directement dans un bouquin.

Et en là non plus je suis pas d'accord. Je ne pense pas que tu puisses t'en tirer en calculant la surface moyenne des disques. Elle ne permet probablement pas d'en déduire le rayon moyen car la relation entre les deux n'est pas linéaire.

Voilà ce que j'ai fait, (et je ne garantit pas la justesse) :

$x$ : "hauteur" depuis le centre de la sphère.
$r$ : rayon du disque
$R$ : rayon de la sphère

On a $ r = \sqrt{R^2-x^2}$.

$r_m = \frac{1}{2R}\int_{-R}^R \sqrt{R^2-x^2} dx =  \frac{1}{r}\int_{0}^R \sqrt{R^2-x^2} dx$.

Une primitive de $\sqrt{R^2-x^2}$ est $\frac{x}{2}\sqrt{R^2-x^2}+ \frac{R^2}{2}\arcsin(x/R)$

Donc $r_m = \frac{R\pi}{4}$.

Le problème c'est que quand je fais le calcul en posant $r =\sin(\pi/2 -\alpha)$, je ne trouve pas le même résultat. Génant, non ?

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Messagepar matthieu » Mercredi 21 Juin 2006, 18:27

Je ne sais pas... je ne suis qu'un pauvre géologue, même pas un géophysicien!

intuitivement pi/4*R pourrait etre juste... comme les autres solutions!

Si quelqu'un a une idée...

Sur quel genre de livre vas tu chercher les primitives?

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Messagepar rebouxo » Mercredi 21 Juin 2006, 20:51

Atlas des mathématiques, pochothèque.

Soit $O$ le centre de la cercle, $I$ et $J$ de coordonnées $(R,0)$, $(0,R)$ (un repère quoi) $M$ un point du cercle. $H$ le projeté orthogonal de $M$ sur $(OJ)$, $\alpha$ l'angle $\widehat{IOM}$.

Alors $r = R\sin(\pi/2-\alpha) = Rcos(\alpha)$.

En calculant la valeur moyenne, j'obtient $\frac{2R}{\pi}$ Quelqu'un peut-il me dire ou est l'erreur et pourquoi je ne trouves pas la même chose.

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Messagepar guiguiche » Jeudi 22 Juin 2006, 17:55

@Rebouxo : je n'ai pas repris ton second calcul mais il me paraît normal de ne pas trouver le même résultat car les éléments infinitésimaux ont toutes les chances de ne pas correspondre. Concernant le premier calcul, je suis d'accord avec le résultat $\frac{\pi}{4}R$. Toutefois, je propose une interprétation plus simple (sans primitive infernale) : avec le changement de variable $x=Ru$, on obtient

$$\frac{1}{R}\int_{0}^{R}{\sqrt{R^2-x^2}dx}=\int_{0}^{R}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{R}\right)^2}dx}=R\int_{0}^{1}{\sqrt{1-u^2}du}$$


la dernière intégrale étant égale à l'aire du quart de disque de centre de O et de rayon 1.

@Matthieu : la définition que tu donnes de ce que tu cherches à calculer n'est pas assez précise ("dimension moyenne de l'intersection"), donc selon l'interprétation que l'on en fera, on risque de ne pas obtenir toujours le même résultat (alors que tous les calculs menés seont corrects).
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Messagepar rebouxo » Jeudi 22 Juin 2006, 20:18

Alors je suis larguer. On exprime $r$ de deux manières différentes et cela ne donne pas le même résultat ?

Essaye de m'expliquer cela, parce que pour moi cela devrait être la même chose.

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Messagepar guiguiche » Vendredi 23 Juin 2006, 07:25

A-t-on: $dx=Rd\alpha$ ? (je n'ai toujours testé ta seconde méthode)

Que signifie dimension moyenne : rayon moyen ? surface moyenne ? le rayin de la surface moyenne coïncide-t-il avec le rayon moyen, cela paraîtrait logique, mais est-ce vraiment le cas ? Mon interprétation est aussi de considérer le rayon moyen mais est-ce le meilleur estimateur de la situation ?
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Messagepar rebouxo » Vendredi 23 Juin 2006, 18:44

guiguiche a écrit:A-t-on: $dx=Rd\alpha$ ? (je n'ai toujours testé ta seconde méthode)

Que signifie dimension moyenne : rayon moyen ? surface moyenne ? le rayin de la surface moyenne coïncide-t-il avec le rayon moyen, cela paraîtrait logique, mais est-ce vraiment le cas ? Mon interprétation est aussi de considérer le rayon moyen mais est-ce le meilleur estimateur de la situation ?


Pour le $dx=Rd\alpha$ je ne pense pas.

Je suis d'accord avec toi sur les questions.
Je ne pense pas que le rayon moyen soit le rayon de la surface moyenne. La relation entre rayon est surface n'est pas linéaire.

Je partage ta question sur la qualité de l'estimateur "moyenne". Mais pour pouvoir répondre à cette question il faudrait en savoir plus sur la situation de Matthieu.
[troll]
La moyenne de l'élève est-elle un bon indicateur de son niveau ?
[/troll]
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Messagepar matthieu » Jeudi 29 Juin 2006, 13:43

Désolé pour le délai de réponse...

Je vais vous expliquer plus précisément mon problème: en fait je cherche à comparer deux méthodes (tamisage ou analyse d'image) pour mesurer le spectre granulométrique d'un échantillon.

Je travaille sur des sédiments meubles hétérogènes que l'on va considérer anisotropes pour simplifier. C'est un mélange de galets plus ou moins grossiers. Un galet est un sphéroïde définit par 3 dimensions (longueur, largeur, épaisseur si vous voulez).

Les échantillons de sédiment ont été prélevés sur un petit escarpement. J'ai au préalable pris en photo cet affleurement. J'ai ensuite tamisé les sédiments. On a deux options pour mesurer le spectre granulométrique:

* avec les tamis, je réparti mes échantillons par classes de taille (taille 1 à 2 cm, classe 2 à 4cm, classe 4 à 8cm...). Cette "taille" déterminée par le tamisage est en fait le petit axe (petit diamètre) des galets, c'est à dire leur largeur (qui va empêcher les galets de traverser la maille du tamis).

* j'ai fait la même chose sur les photos. La photo montre les galets sphéroïdes en coupe (on voit donc des ellipses), coupe qui est aléatoire. Mais le petit axe mesuré sur l'ellipse (photo) sera forcément inférieur à la "largeur" réelle du galet sphéroïde. C'est l'effet de coupe.

L'idée est de comparer les résultats des deux méthodes, et de trouver un moyen de convertir le spectre granulométrique photo en spectre granulométrique réel (tamisage). La méthode la plus efficace est de faire une étude statistique sur de nombreux échantillons, mais ça prend du temps. J'aurais voulu avoir en plus une solution plus "mathématiques", qui sera sûrement moins adaptée pour interpréter un cas réel (ou il y a trop de variables en jeu), mais qui sera plus solide d'un point de vue théorique.

Je me suis d'abord intéressé à la sphère car c'était un cas "simple"... avant de me plonger dans le problème du sphéroïde. Vous comprenez que ce qui l'intéresse est bien le rayon et pas la surface de l'intersection. J'entends par rayon moyen la moyenne des rayons de toute l’intersection entre une sphère et tous les plans de l'espace qui la recoupent.

Je ne doute pas que ce problème qui a un intérêt industriel certain ait déjà été traité en long, en large et en travers :o , mais j'ai du mal à trouver l'info.

Merci

Matthieu
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