Modéliser le mouvement des aiguilles

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Modérateur: gdm_aidesco

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Modéliser le mouvement des aiguilles

Messagepar Premium » Dimanche 19 Février 2006, 13:39

Bonjour,
j'aurais besoin d'aide concernant le problème que voici.

Merci d'avance

La figure est une horloge classique numérotées de 1 à 12.
O est le centre de l'horloge.
A est placé sur 12 et G de telle sorte que (OA,OG) donne 12H12(l'heure) et P de telle sorte que (OA,OP) donne 12H26(l'heure)


L'objet du problème est de modéliser le mouvement des aiguilles d'une horloge au cours d'une journée.

1)Modélisation du mouvement
-Dans la figure ci-contre,les cercles ont le même centre O.
-G est l'extrémité de la grande aiguille,P est celle de la petite.
A est la position origine,c'est à dire ,la position de G à 0 heure(minuit).
Enfin,on désigne par t(0<t<24) le temps écoulé depuis 0 heure.

Montrez que pour $0\le t <24$,on a:

[center]$(\vect{OA},\vect{OG}) =-2\pi t \quad [2\pi]$[/center]
[center]$(\vect{OA},\vect{OP}) =\dfrac{-2}{12}\pi t \quad [2\pi]$[/center]

2)Etude d'un exemple
Il est 11H12 : Quelle est en degré,l'angle aigu des 2 aiguilles ?

3)Superposition
Exprimer en fonction de t l'angle $(\vect{OG},\vect{OP})$,modulo $\pi$ et en déduire à quelle heure de la journée,les 2 aiguilles sont superposées.

4)Symétrie
Donner l'heure exacte à la seconde près sachant que [OG) et [OP) sont symétrique par rapport à (OA)

5)Orthogonalité
A quelle heure de la journée les 2 aiguilles sont-elles perpendiculaires (répondre à la seconde près)
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Messagepar Tryphon » Dimanche 19 Février 2006, 14:25

Bonjour, qu'as-tu fait dedans ?
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Messagepar DidgeriDude » Dimanche 19 Février 2006, 14:30

Je ne comprends pas tout :

Tu as écrit :
A est placé sur 12 et G de telle sorte que (OA,OG) donne 12H12(l'heure) et P de telle sorte que (OA,OP) donne 12H26(l'heure).

et également :
-G est l'extrémité de la grande aiguille,P est celle de la petite.
A est la position origine,c'est à dire ,la position de G à 0 heure(minuit).

Ce ne serait pas la position de P à 0 heures ? vu que G fait 24 fois le tour ?
A moins que je ne visualise pas bien...
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Messagepar Premium » Dimanche 19 Février 2006, 14:37

DidgeriDude a écrit:Je ne comprends pas tout :

Tu as écrit :
A est placé sur 12 et G de telle sorte que (OA,OG) donne 12H12(l'heure) et P de telle sorte que (OA,OP) donne 12H26(l'heure).

et également :
-G est l'extrémité de la grande aiguille,P est celle de la petite.
A est la position origine,c'est à dire ,la position de G à 0 heure(minuit).

Ce ne serait pas la position de P à 0 heures ? vu que G fait 24 fois le tour ?
A moins que je ne visualise pas bien...

Salut,
concernant la figure j'ai essayé d'expliquer car je ne peux pas reproduire la figure mais sur la figure donné c'est de cette manière
A
|
|
O-----------------G(grande aiguille)
|
---------P(petite aiguille)

A est la position origine,c'est à dire ,la position de G à 0 heure(minuit).

J'ai vérifié et c'est bien ce qui est mis dans l'énoncé
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Messagepar DidgeriDude » Dimanche 19 Février 2006, 14:46

En fait, je viens de penser à une chose : dans l'exercice, on considère le chemin des points sur 24 heures, et donc, à l'origine, ça commence par le point G qui se trouve à minuit avant qu'il commence sa course de 24 tours. Enfin, je le comprends comme ça maintenant !
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Messagepar MB » Dimanche 19 Février 2006, 14:57

Premium a écrit:concernant la figure j'ai essayé d'expliquer car je ne peux pas reproduire la figure mais sur la figure donné c'est de cette manière


En demandant à rejoindre ce groupe, tu peux joindre des fichiers (et donc des images) à tes messages.
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Messagepar DidgeriDude » Dimanche 19 Février 2006, 16:02

1) On considère que la vitesse à laquelle tournent les aiguilles est toujours la même donc l'angle est proportionnel à l'heure écoulée avec un coefficient 1 pour les minutes et un coefficient $\dfrac{1}{12}$ pour les heures :
a) 1h -> 1 tour ($-2\pi$, négatif car sens non trigo) pour les minutes
b) 12h -> 1 tour ($-2\pi$) pour les heures.

2) Il suffit de calculer $(\vect{OA},\vect{OP})$ et $(\vect{OA},\vect{OG})$ pour t égal à 11h12 en décimal.
puis conclure par la relation de Châsles (je pense).

3) Je pense à la relation de Châsles également (je n'ai pas fait, donc je ne vois pas en moins de 2 secondes le passage au modulo $\pi$, désolé. Mais c'est sûr que c'est modulo $\pi$ ?).
Superposées -> l'angle est nul modulo $2\pi$.

4) La symétrie donne : les deux angles doivent avoir des mesures opposées.

5) L'expression de la question 3 doit être égale à $\dfrac{\pi}{2}$ modulo $\pi$
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