Equation d'un cercle et d'une sphère

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Equation d'un cercle et d'une sphère

Messagepar theboss1er » Mardi 02 Mai 2006, 20:44

salut
je voudrais savoir quelle équation taper dans ma calculette en mode 2D pour le cercle et 3D pour la sphère pour "dessiner" un cercle et une sphère??

a+
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Messagepar rebouxo » Mardi 02 Mai 2006, 21:56

Un cercle ne peut être représenté par une fonction, en coordonnées cartésiennes. Un nombre peut avoir deux images.
L'équation d'un cercle de centre $(a,b)$ et de rayon $r$ est donnée par :
$(x-a)^2+(y-a)^2 = R^2$ en coordonnées cartésiennes. Il faut isoler $y$ et faire deux cas : $y = \sqrt{R^2 - (x-a)^2} + b$ et $y = -\sqrt{R^2 - (x-a)^2} + b$.
En coordonnée polaire, c'est plus simple :$ \rho(\theta) = R$ pour le cercle de centre $(0,0)$ et de rayon $R$. Pour les autres cercles, il doit falloir faire un changement de repère.

Dans l'espace, en coordonnées cartésiennes, c'est la même chose avec une coordonnées en plus. Il faut alors isolé $z$.

La sphère de centre $(0,0,0)$ doit se représenter par $\rho(\theta,\phi) = R$, mais je ne pense pas que les calculatrices gèrent les coordonnées sphériques.

B'soir, tout le monde.
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Messagepar jobherzt » Mardi 02 Mai 2006, 22:49

avec une calculatrice, fait le avec une equation parametrique :

$$x(t)=sin(t)$$


$$y(t)=cos(t)$$


avec $t\in [0,2\pi]$.
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Messagepar rebouxo » Mercredi 03 Mai 2006, 06:48

:oops: Et j'y ai pas pensé.
Evidemment pour avoir un cercle de rayon $R$, il faut que tu multiplie par $R$.
Une équation paramétrique pour la sphère ?

Olvier
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Messagepar jobherzt » Mercredi 03 Mai 2006, 07:50

bien sur ! c'est assez logique, on trace des cercles qui retrecissent avec la hauteur :

$$\left\{
 \begin{matrix}
 x(\theta,\phi) & = & r \sin\theta \; \cos\phi \\
 y(\theta,\phi) & = & r \sin\theta \; \sin\phi\\
 z(\theta,\phi) & = & r \cos\theta
 \end{matrix}
 \right.$$



pour $\theta \in ]0,\pi[$ et $\phi \in ]-\pi,\pi[$
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Messagepar theboss1er » Mercredi 03 Mai 2006, 18:29

merci de toutes vos réponses !
seulement je suis en premiere S et on a pas encore vu les paramétriques ni les polaires
et l'exercice demande de donner l'équation d'une sphère de centre $\Omega(1;-2;3)$ et de rayon $R=2$.

je ne comprend pas du tout !
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Messagepar jobherzt » Mercredi 03 Mai 2006, 18:43

alors dans ce cas, l'equation a donner ne permet pas (pas directement) de la tracer a la calculette. c'est simplement l'equation vérifiée par les points de la sphere. par definition, si on parle d'une sphere centrée en $\Omega=(\omega_x,\omega_y,\omega_z)$, la sphere de rayon r est l'ensemble des points qui sont a la distance r du centre. or, une distance dans $\R^3$ s'exprime comme la racine de la somme des carres des differences des coordonnées :-) en plus clair, tout point $(x,y,z)$ de la sphere verifie :

$$\sqrt{(x-\omega_x)^2+(y-\omega_y)^2+(z-\omega_z)^2}=r$$

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Messagepar rebouxo » Mercredi 03 Mai 2006, 20:17

Ce n'est jamais que le théorème de Pythagore !
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Messagepar theboss1er » Jeudi 04 Mai 2006, 16:39

jobherzt a écrit:alors dans ce cas, l'equation a donner ne permet pas (pas directement) de la tracer a la calculette. c'est simplement l'equation vérifiée par les points de la sphere. par definition, si on parle d'une sphere centrée en $\Omega=(\omega_x,\omega_y,\omega_z)$, la sphere de rayon r est l'ensemble des points qui sont a la distance r du centre. or, une distance dans $\R^3$ s'exprime comme la racine de la somme des carres des differences des coordonnées :-) en plus clair, tout point $(x,y,z)$ de la sphere verifie :

$$\sqrt{(x-\omega_x)^2+(y-\omega_y)^2+(z-\omega_z)^2}=r$$



ah mais oui evidement ca me parait facile comme ca :)

merci à tous en tout cas :D
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Messagepar theboss1er » Vendredi 05 Mai 2006, 20:39

re-salut

qqun pourrais m'expliquer comment "marche" une fonction paramétrique ?
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Messagepar rebouxo » Samedi 06 Mai 2006, 08:56

On parlerait plutôt de courbe paramétrée, je pense.
Les points d'une courbe définie par une fonction $f$ ont pour coordonnées : $(x,\f(x))$.
Pour une courbe définie en paramétrique, les points sur cette courbe ont pour coordonnées : $(x(t) ; y(t))$ ou $x$ et $y$ sont des fonctions, et $t$ un paramètre.
Les courbes paramétriques sont très utilisées en mécaniques $t$ est alors le temps.
L'intérêt du paramétrique c'est que cela permet de représenter des courbes ou << un point à plusieurs images ", comme le cercle.
Voir ici.
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